기하공간도형과 공간좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

사각뿔 옆면 넓이

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정사각형 BCDE{\mathrm{BCDE}}를 밑면으로 하고 AB‾=AC‾=AD‾=AE‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AC}}} = {\overline{\mathrm{AD}}} = {\overline{\mathrm{AE}}}인 사각뿔 A−BCDE{\mathrm{A}} - {\mathrm{BCDE}}가 있다. 직선 AC{\mathrm{AC}}와 평면 BCDE{\mathrm{BCDE}}가 이루는 각의 크기가 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}일 때, 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}의 넓이는? [3점]

①22②5\displaystyle \sqrt{5}③6\displaystyle \sqrt{6}④7\displaystyle \sqrt{7}⑤22\displaystyle 2 \sqrt{2}

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④

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해설

점 A{\mathrm{A}}에서 평면 BCDE{\mathrm{BCDE}}에 내린 수선의 발을 A′{\mathrm{A}}'이라 하면 A′C‾=12×EC‾=12×22=2\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}}' {\mathrm{C}}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{EC}}} = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} = \sqrt{2} 직선 AC{\mathrm{AC}}와 평면 BCDE{\mathrm{BCDE}}가 이루는 각의 크기가 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}이므로 A′C‾=AC‾×cos⁡π3\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}}' {\mathrm{C}}}} = {\overline{\mathrm{AC}}} \times \cos \frac{\pi}{3}, AC‾=22\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 2 \sqrt{2} 점 A{\mathrm{A}}에서 선분 BC{\mathrm{BC}}에 내린 수선의 발을 H{\mathrm{H}}라 하면 직각삼각형 AHC{\mathrm{AHC}}에서 AH‾=AC‾2−HC‾2=(22)2−12=7\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{HC}}} ^{2}} = \sqrt{\left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2} - 1 ^{2}} = \sqrt{7} 따라서 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}의 넓이는 12×BC‾×AH‾=7\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BC}}} \times {\overline{\mathrm{AH}}} = \sqrt{7}

태그

#직선과 평면이 이루는 각#사각뿔

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