사각뿔 수선의 발

다음 그림과 같이 점 $\mathrm{A}$, 점 $\mathrm{H}$, 점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{BD}$에 내린 수선의 발을 각각 점 $\mathrm{A}'$, 점 $\mathrm{H}'$, 점 $\mathrm{O}'$라 하자.

선분 $\mathrm{OA}$의 중점이 $\mathrm{M}$이므로 점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{OA}'$의 중점이다. 마찬가지로, 점 $\mathrm{H}'$도 선분 $\mathrm{O}' A'$의 중점이다. 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \sqrt{2 ^{2} + 5} = 3$이므로 $\displaystyle 2 : 3 = \mathrm{\overline{BA'}} : 2$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BA'}} = \frac{4}{3}$ 또 삼각형 $\mathrm{OBD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} = {\overline{OD}} = 2$인 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BO'}} = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{A' O'}} = \frac{3}{2} - \frac{4}{3} = \frac{1}{6}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{A' H'}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{BH'}} = \frac{4}{3} + \frac{1}{12} = \frac{17}{12}$ $\cdots \cdots$㉠ 또, $\displaystyle \mathrm{\overline{OO'}} = \sqrt{2 ^{2} - \left( \frac{3}{2} \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{HH'}} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ $\cdots \cdots$㉡ 삼각형 $\mathrm{BHH}'$에서 ㉠, ㉡에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}} = \sqrt{\left( \frac{17}{12} \right) ^{2} + \left( \frac{\sqrt{7}}{4} \right) ^{2}} = \sqrt{\frac{22}{9}}$ 따라서 $\displaystyle 90 k ^{2} = 90 \times \frac{22}{9} = 220$