사각뿔 최단거리

[출제의도] 입체도형의 전개도를 추측하여 선분의 길이의 합의 최솟값을 구한다. 구하려는 사각뿔의 한 모서리의 길이를 $x$라 하고, 면 $\mathrm{BCDE}$의 대각선 $\mathrm{BD}$와 대각선 $\mathrm{CE}$의 교점을 $\mathrm{O}$라 하자. 사각뿔 $\mathrm{A} BCDE$의 전개도를 그리면 다음과 같다.

전개도에서 선분 $\mathrm{C} D$와 선분 $\mathrm{O} A$의 교점을 $\mathrm{R}$라 하자. 점 $\mathrm{G}$는 삼각형 $\mathrm{A} CD$의 무게중심이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} G} : \overline{\mathrm{G} R} = 2 : 1$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{GR}}} = \frac{1}{3} {\overline{\mathrm{AR}}}$ 전개도에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{O} G}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{O} R} + \overline{\mathrm{G} R}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{O} R} + \frac{1}{3} \overline{\mathrm{A} R}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} x \times \frac{1}{3}$$\displaystyle = \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{6} x$$\displaystyle = \frac{1}{6} ( 3 + \sqrt{3} ) x$ 삼각형 $\mathrm{G} OG'$은 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{G} G'}$$\displaystyle = \sqrt{2} \times \overline{\mathrm{O} G}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{6} ( 3 + \sqrt{3} ) x$ 전개도에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{G} P} + \overline{\mathrm{P} Q}$$\displaystyle + \overline{\mathrm{Q} G'}$의 값이 최소가 되는 경우는 네 점 $\mathrm{G}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{G}'$이 한 직선 위에 있을 때이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6} ( 3 + \sqrt{3} ) x = 30 ( 3 \sqrt{2} + \sqrt{6} )$ $\displaystyle \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{6} x = 30 ( 3 \sqrt{2} + \sqrt{6} )$ $\displaystyle \frac{1}{6} x = 30$ 따라서 $x = 180$