미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사각뿔 부피 최대

문제

좌표공간에 55개의 점 A(0,0,4−t)\mathrm{A} ( 0 , 0 , \mathit{4} - t ), B(t,0,0)\mathrm{B} ( \mathit{t} , 0 , 0 ), C(0,t,0)\mathrm{C} ( \mathit{0} , t , 0 ), D(−t,0,0)\mathrm{D} ( \mathit{-} t , 0 , 0 ), E(0,−t,0)\mathrm{E} ( \mathit{0} , - t , 0 )을 꼭짓점으로 하는 사각뿔 A−BCDEA - BCDE가 있다. 0<t<40 < t < 4일 때, 이 사각뿔의 부피가 최대가 되도록 하는 실수 tt의 값은? [4점] ①23\displaystyle \frac{2}{3}②43\displaystyle \frac{4}{3}③22④83\displaystyle \frac{8}{3}⑤103\displaystyle \frac{10}{3}

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④

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해설

사각뿔 A−BCDEA - BCDE에서 밑면 BCDE\mathrm{BCDE}는 한 변이 2t\displaystyle \sqrt{2} t인 정사각형이고 높이는 4−t4 - t이므로 부피 f(t)f ( t )라 하면 f(t)=13∙2t2(4−t)\displaystyle f ( t ) = \frac{1}{3} \bullet 2 t ^{2} ( 4 - t )(0<t<4)( 0 < t < 4 ) f′(x)=−2t2+163t=0\displaystyle f' ( x ) = - 2 t ^{2} + \frac{16}{3} t = 0에서 t=83\displaystyle t = \frac{8}{3}에서 극대이자 최대를 갖는다.

태그

#최대최소#부피

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