사각형 넓이 역수 급수

네 직선 $x = 1$, $x = n + 1$, $y = x$, $y = 2 x$로 둘러싸인 사각형은 그림과 같이 평행한 두 변의 길이가 각각 $1$, $( n + 1 )$이고, 높이가 $n$인 사다리꼴이다. $\therefore$ $\displaystyle S _{n} = {\frac{n ( n + 2 )}{2}}$

$\therefore$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{S _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{2}{n ( n + 2 )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2} \right)$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( {1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1}} - \frac{1}{n + 2} \right)$ $\displaystyle = \frac{3}{2}$