사각형 넓이 이등분

[출제의도] 내분점을 이용하여 주어진 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

선분 $\mathrm{AD}$와 $y$축의 교점을 $\mathrm{E}$, 선분 $\mathrm{CD}$와 $x$축의 교점을 $\mathrm{F}$라 하자. 이때, 점 $\mathrm{E}$가 선분 $\mathrm{A} D$를 $m : n$으로 내분한다면 $\displaystyle {\mathrm{E}} \left( \frac{ma + n ( - 1 )}{m + n} , \frac{ma}{m + n} \right)$ $\displaystyle \frac{ma + n ( - 1 )}{m + n} = 0$에서 $n = ma$, 즉 $\displaystyle {\mathrm{E}} \left( 0 , \frac{a}{a + 1} \right)$이다. 이때 사다리꼴 ABCE의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left\{ 1 + \left( \frac{a}{a + 1} + 1 \right) \right\} \times 1$ 삼각형 CDE의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( \frac{a}{a + 1} + 1 \right) \times a$ 두 도형의 넓이가 같으므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{3 a + 2}{a + 1} = \frac{1}{2} \times \frac{2 a + 1}{a + 1} \times a$ $3 a + 2 = 2 a ^{2} + a$, $a ^{2} - a - 1 = 0$ ∴ $\displaystyle a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$(∵ $a > 0$) [다른 풀이] $△ AOE = \triangle COF$이므로 $□ ABCO = \square OFDE$이다. 따라서 $\displaystyle △ ODE = \frac{1}{2} \square \mathrm{ABCO} = \frac{1}{2}$이다. 점 D에서 $y$축에 내린 수선의 발을 H라 하자. 점 E의 좌표를 $( 0 , k )$라 하면 $\triangle {\mathrm{AOE}}$󰁀$\triangle {\mathrm{DHE}}$이므로 $\displaystyle \overline{AO} : \overline{DH} = \overline{OE} : \overline{HE}$에서 $1 : a = k : ( a - k )$, $ak = a - k$ $\displaystyle k = \frac{a}{a + 1}$ ∴ $\displaystyle {△ ODE} = \frac{1}{2} \times \frac{a}{a + 1} \times a = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{a ^{2}}{a + 1} = 1$ 에서 $a ^{2} - a - 1 = 0$이므로 ∴ $\displaystyle a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$(∵ $a > 0$)