사각형 넓이 극한

곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{4} x ^{2}$과 직선 $y = tx - 1$이 만나는 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta \left( \alpha < \beta \right)$라 하자. $\displaystyle \frac{1}{4} x ^{2} = tx - 1$에서 $x ^{2} - 4 tx + 4 = 0$ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 4 t$, $\alpha \beta = 4$ 이때 $t > 1$이므로 두 근의 합과 곱은 모두 양수이다. 따라서 $0 < \alpha < \beta$ 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$는 직선 $y = tx - 1$ 위의 점이므로 ${\mathrm{A}} \left( \alpha , t \alpha - 1 \right)$, ${\mathrm{B}} \left( \beta , t \beta - 1 \right)$ 이고, 이 두 점은 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{4} x ^{2}$ 위의 점이기도 하므로 $y$좌표 모두 양수이다. 이때 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$에서 $x$축에 내린 수선의 발이 각각 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$이므로 ${\mathrm{P}} \left( \alpha , 0 \right)$, ${\mathrm{Q}} \left( \beta , 0 \right)$ 이고, $y$축에 내린 수선의 발이 각각 ${\mathrm{R}}$, ${\mathrm{S}}$이므로 ${\mathrm{R}} \left( 0 , t \alpha - 1 \right)$, ${\mathrm{S}} \left( 0 , t \beta - 1 \right)$ 사각형 ${\mathrm{APQB}}$는 평행한 두 변의 길이가 각각 $t \alpha - 1$, $t \beta - 1$이고, 높이가 $\beta - \alpha$인 사다리꼴이므로 그 넓이 $f \left( t \right)$는 $f \left( t \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \left( t \alpha - 1 \right) + \left( t \beta - 1 \right) \right\} \left( \beta - \alpha \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ t \left( \alpha + \beta \right) - 2 \right\} \left( \beta - \alpha \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이때 $\alpha + \beta = 4 t$이므로 $\beta - \alpha$$\displaystyle = \sqrt{\left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 4 \alpha \beta}$ $\displaystyle = \sqrt{16 t ^{2} - 16}$ $\displaystyle = 4 \sqrt{t ^{2} - 1}$ 이를 ㉠에 대입하면 $f \left( t \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ t \times 4 t - 2 \right\} \times 4 \sqrt{t ^{2} - 1}$ $\displaystyle = \left( 4 t ^{2} - 2 \right) \times 2 \sqrt{t ^{2} - 1}$ $\displaystyle = 4 \left( 2 t ^{2} - 1 \right) \sqrt{t ^{2} - 1}$ 또한, 사각형 ${\mathrm{ABSR}}$은 아랫변의 길이가 $\alpha$, 윗변의 길이가 $\beta$, 높이가 $\left( t \beta - 1 \right) - \left( t \alpha - 1 \right) = t \left( \beta - \alpha \right)$인 사다리꼴이므로 그 넓이 $g \left( t \right)$는 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \alpha + \beta \right) \times t \left( \beta - \alpha \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 t \times t \left( 4 \sqrt{t ^{2} - 1} \right)$ $\displaystyle = 8 t ^{2} \sqrt{t ^{2} - 1}$ 이때 $2 f \left( t \right) - g \left( t \right)$$\displaystyle = 8 \left( 2 t ^{2} - 1 \right) \sqrt{t ^{2} - 1} - 8 t ^{2} \sqrt{t ^{2} - 1}$ $\displaystyle = \left\{ 16 t ^{2} - 8 - 8 t ^{2} \right\} \sqrt{t ^{2} - 1}$ $\displaystyle = \left( 8 t ^{2} - 8 \right) \sqrt{t ^{2} - 1}$ $\displaystyle = 8 \left( t ^{2} - 1 \right) \sqrt{t ^{2} - 1}$ 이므로 구하는 극한값은 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} \frac{2 f \left( t \right) - g \left( t \right)}{\sqrt{\left( t - 1 \right) ^{3}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} \frac{8 \left( t ^{2} - 1 \right) \sqrt{t ^{2} - 1}}{\left( t - 1 \right) \sqrt{t - 1}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} 8 \left( \frac{t ^{2} - 1}{t - 1} \right) \sqrt{\frac{t ^{2} - 1}{t - 1}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 +} 8 \left( t + 1 \right) \sqrt{t + 1}$ $\displaystyle = 8 \times 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle = 16 \sqrt{2}$