미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

사각형 넓이 최대 접점

문제

곡선 y=x3−5x2+4x+4y = x ^{3} - 5 x ^{2} + 4 x + 4 위에 세 점 A(−1,−6)\mathrm{A} \left( - 1 , - 6 \right), B(2,0)\mathrm{B} \left( 2 , 0 \right), C(4,4)\mathrm{C} \left( 4 , 4 \right)가 있다. 곡선 위에서 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B} 사이를 움직이는 점 P\mathrm{P}와 곡선 위에서 두 점 B\mathrm{B}, C\mathrm{C} 사이를 움직이는 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 사각형 AQCP\mathrm{AQCP}의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}의 xx좌표의 곱은? [3점] ①16\displaystyle \frac{1}{6}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤56\displaystyle \frac{5}{6}

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④

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해설

[출제의도] 접선의 방정식 이해하기 (사각형 AQCP\mathrm{AQCP}의 넓이) =(삼각형 ACP\mathrm{ACP}의 넓이)+(삼각형 AQC\mathrm{AQC}의 넓이) 직선 AC\mathrm{AC}의 기울기가 22이므로 사각형 AQCP\mathrm{AQCP}의 넓이가 최대가 되려면 접선의 기울기가 22가 되는 접점을 P\mathrm{P}와 Q\mathrm{Q}로 하면 된다. y′=3x2−10x+4y' = 3 x ^{2} - 10 x + 4에서 3x2−10x+4=23 x ^{2} - 10 x + 4 = 2, 3x2−10x+2=03 x ^{2} - 10 x + 2 = 0의 두 근이 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}의 xx좌표이므로 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}의 xx좌표의 곱은 23\displaystyle \frac{2}{3}

태그

#접선의 기울기#넓이 최대

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