대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사각형 넓이 최대

문제

평면에 있는 사각형 ABCDABCD가 AB‾=AD‾=1,BC‾=CD‾=DB‾\displaystyle \overline{AB} = \overline{AD} = 1 , \overline{BC} = \overline{CD} = \overline{DB} 를 만족시킨다. ∠DAB=θ\angle DAB = \theta라 할 때, 사각형 ABCDABCD의 넓이가 최대가 되도록 하는 θ\theta에 대하여 60sin⁡2θ60 \sin ^{2} \theta의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도]삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구할 수 있는가? 삼각형 ABDABD에서 코사인법칙에 의해 BD‾2=12+12−2⋅1⋅1⋅cos⁡θ\displaystyle \overline{BD} ^{2} = 1 ^{2} + 1 ^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos \theta=2−2cos⁡θ= 2 - 2 \cos \theta 삼각형 BCDBCD는 정삼각형이므로 삼각형 BCDBCD의 넓이는 34×BD‾2=34(2−2cos⁡θ)\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \times \overline{BD} ^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} ( 2 - 2 \cos \theta )=32(1−cos⁡θ)\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} ( 1 - \cos \theta ) 삼각형 ABDABD의 넓이는 12×1×1×sin⁡θ=12sin⁡θ\displaystyle \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \sin \theta = \frac{1}{2} \sin \theta 이므로 사각형 ABCDABCD의 넓이 SS는 S=12sin⁡θ+32(1−cos⁡θ)\displaystyle S = \frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} ( 1 - \cos \theta ) =12sin⁡θ−32cos⁡θ+32\displaystyle = \frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2}=sin⁡(θ−π3)+32\displaystyle = \sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{\sqrt{3}}{2} 따라서, SS는 θ−π3=π2\displaystyle \theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} 즉, θ=56π\displaystyle \theta = \frac{5}{6} \pi일때 최댓값을 갖는다. ∴ 60sin⁡2θ=60sin⁡256π\displaystyle 60 \sin ^{2} \theta = 60 \sin ^{2} \frac{5}{6} \pi=60×(12)2\displaystyle = 60 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}=15= 15

태그

#삼각형 넓이#삼각함수 합성

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