사각형 둘레 위 최대최소

[출제의도] 원과 직선의 위치관계 이해하기 $x ^{2} + y ^{2} - 4 x + 4 = k$라 하면 $( x - 2 ) ^{2} + y ^{2} = k$는 중심이 $( 2 , 0 )$이고 반지름이 $\displaystyle \sqrt{k}$인 원이다. 최댓값은 $\mathrm{B} ( 4 , 1 )$ 또는 $\mathrm{C} ( 1 , 2 )$를 지날 때이므로 $\displaystyle \sqrt{k} = \sqrt{( 2 - 4 ) ^{2} + ( 0 - 1 ) ^{2}} = \sqrt{( 2 - 1 ) ^{2} + ( 0 - 2 ) ^{2}} = \sqrt{5}$ $\therefore$ 최댓값 $k = 5$ 최솟값은 점 $\mathrm{A} , B$를 지나는 직선 $3 x - 2 y - 10 = 0$과 접할 때이므로 $\displaystyle \sqrt{k} = \frac{\left| 3 \times 2 - 2 \times 0 - 10 \right|}{\sqrt{3 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{13}}$ $\therefore$ 최솟값 $\displaystyle k = \frac{16}{13}$ 따라서 $\displaystyle 39 ( M - m ) = 39 \left( 5 - \frac{16}{13} \right) = {147}$