사각형 둘레 최솟값

사각형 $\mathrm{P} QRS$의 둘레의 길이의 최솟값은 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = 13 , {\overline{\mathrm{RS}}} = 5 \sqrt{2}$로 일정하므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{P}} S + \overline{\mathrm{Q}} R$이 최소이면 된다. 그림처럼 점 $\mathrm{P} ( 12 , 0 )$의 $y = - x$에 대한 대칭점 $\mathrm{T} ( 0 , - 12 )$를 잡고 점$\mathrm{T}$를 지나고 기울기가 -$1$인 직선 $y = - x - 12$위에 $\displaystyle \overline{\mathrm{R}} S = 5 \sqrt{2} = \overline{\mathrm{T}} U$되도록 $\mathrm{U} ( - 5 , - 7 )$을 잡으면 $\displaystyle \overline{\mathrm{R}} S$가 직선 $y = - x$위를 움직이더라도 $\displaystyle \overline{\mathrm{P}} S = \overline{\mathrm{S}} T = \overline{\mathrm{R}} U$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{P}} S + \overline{\mathrm{Q}} R = \overline{\mathrm{R}} U + \overline{\mathrm{Q}} R$이다. 그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{Q}} R + \overline{\mathrm{R}} U$의 최솟값은 $\displaystyle \therefore \overline{\mathrm{P}} S + \overline{\mathrm{Q}} R = \overline{\mathrm{Q}} R + \overline{\mathrm{R}} U \geq \overline{\mathrm{Q}} U = 13$ $\therefore$ $\mathrm{P} QRS$의 둘레의 길이$\displaystyle \geq 13 + 5 \sqrt{2} + 13 = 26 + 5 \sqrt{2}$