미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사각기둥 부피 최대

문제

아래 그림은 밑면 PQRS\mathrm{P} QRS가 정사각형인 사각기둥에 대한 전개도이다. 옆면의 대각선의 길이가 44일 때, 사각기둥의 부피가 최대가 되게 하는 밑면의 한 변의 길이는? [4점]

①12\displaystyle \frac{1}{2}②32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}③11④263\displaystyle \frac{2 \sqrt{6}}{3}⑤463\displaystyle \frac{4 \sqrt{6}}{3}

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⑤

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해설

PS‾=x\displaystyle \overline{\mathrm{P} S} = x, (기둥높이)=16−x2\displaystyle = \sqrt{16 - x ^{2}}, 사각기둥의 부피 V(x)=x216−x2\displaystyle V ( x ) = x ^{2} \sqrt{16 - x ^{2}}이다. 미분하면 V′(x)V' ( x )== 2x16−x2+x2−x16−x2\displaystyle 2 x \sqrt{16 - x ^{2}} + x ^{2} \frac{- x}{\sqrt{16 - x ^{2}}} =2x(16−x2)−x316−x2\displaystyle = \frac{2 x ( 16 - x ^{2} ) - x ^{3}}{\sqrt{16 - x ^{2}}}=32x−3x316−x2\displaystyle = \frac{32 x - 3 x ^{3}}{\sqrt{16 - x ^{2}}} V′(x)=0{\mathrm{V}}' ( x ) = 0의 해는 부피를 최대로 만든다. ∴ x=x =463\displaystyle \frac{4 \sqrt{6}}{3}

태그

#최대최소#무리함수의 미분

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