생산함수 지수 구하기

$1980$년도의 노동, 자본, 생산량을 각각 $x , y , z$라고 하면 $z = 2 x ^{\alpha} y ^{1 - \alpha}$이고 $1993$년도의 노동, 자본, 생산량은 각각 $4 x , 2 y , 2 \cdot 5 z$이므로 $2 \cdot 5 z = 2 ( 4 x ) ^{\alpha} ( 2 y ) ^{1 - \alpha}$$= 4 ^{\alpha} \cdot 2 ^{1 - \alpha} \cdot ( 2 x ^{\alpha} y ^{1 - \alpha} )$ $z = 2 x ^{\alpha} y ^{1 - \alpha}$이므로 $2 \cdot 5 = 4 ^{\alpha} \cdot 2 ^{1 - \alpha}$ $\displaystyle \frac{5}{2} = 2 ^{1 + \alpha}$ $\rightarrow 5 = 2 ^{2 + \alpha}$ $\rightarrow \log 5 = ( 2 + \alpha ) \log 2$ $\displaystyle \alpha + 2 = \frac{\log 5}{\log 2}$에서 $\displaystyle \alpha = \frac{\log 5}{\log 2} - 2$$\displaystyle = \frac{1 - \log 2}{\log 2} - 2$$\displaystyle = \frac{1 - 0.30}{0.30} - 2$$\displaystyle = \frac{1}{3}$$\approx 0.33$