색깔 공 나누어 주기

[출제의도] 중복조합을 활용하여 문제해결하기 학생 $A$가 받은 검은 공의 개수와 흰 공의 개수를 각각 $b , w$라 하자. 조건 (가), (나)를 만족시키는 순서쌍 $\left( b , w \right)$ 중 학생 $A$가 홀수 개의 공을 받은 경우는 $\left( 4 , 3 \right) , \left( 4 , 1 \right) , \left( 3 , 2 \right) , \left( 2 , 1 \right)$ (ⅰ) 순서쌍 $\left( b , w \right)$가 $\left( 4 , 3 \right)$일 때 흰 공 $2$개, 빨간 공 $5$개가 남으므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) 순서쌍 $\left( b , w \right)$가 $\left( 4 , 1 \right)$일 때 흰 공 $4$개와 빨간 공 $5$개가 남으므로 세 명의 학생 $B , C , D$에게 흰 공과 빨간 공을 각각 $1$개씩 나누어 주고, 남은 흰 공 $1$개, 빨간 공 $2$개를 나누어 주는 경우의 수는 다음과 같다. 흰 공 $1$개를 받은 학생을 정하는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} _{1}$$= 3$ 세 명의 학생 $B , C , D$에게 빨간 공 $2$개를 나누어 줄 때, 흰 공을 받는 학생에게 빨간 공 $2$개를 모두 나누어 주는 경우를 제외해야 하므로 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{H} _{2} - 1$$= _{4} \mathrm{C} _{2} - 1$$= 5$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $3 \times 5$$= 15$ (ⅲ) 순서쌍 $\left( b , w \right)$가 $\left( 3 , 2 \right)$일 때 검은 공 $1$개, 흰 공 $3$개, 빨간 공 $5$개가 남으므로 다음의 (1)과 (2)의 경우로 나누어 볼 수 있다. (1) 세 명의 학생 $B , C , D$ 중에서 한 명의 학생이 검은 공과 흰 공을 받는 경우 검은 공과 흰 공을 받는 학생을 정하는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} _{1}$$= 3$ 검은 공과 흰 공을 받는 학생이 $B$일 때 남은 흰 공 $2$개와 빨간 공 $5$개는 학생 $B$를 제외한 두 명의 학생 $C , D$에게 나누어 준다. 두 명의 학생 $C , D$에게 흰 공 $1$개, 빨간 공 $1$개씩을 각각 나누어 주고 남은 빨간 공 $3$개를 나누어 줄 때, 한 명의 학생에게 빨간 공 $3$개를 모두 나누어 주는 경우를 제외해야 하므로 경우의 수는 ${} _{2} \mathrm{H} _{3} - 2$$= _{4} \mathrm{C} _{3} - 2$$= 2$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $3 \times 2$$= 6$ (2) 세 명의 학생 $B , C , D$ 중에서 한 명의 학생이 검은 공과 빨간 공을 받는 경우 검은 공과 빨간 공을 받는 학생을 정하는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} _{1}$$= 3$ 검은 공과 빨간 공을 받는 학생이 $B$일 때 두 명의 학생 $C , D$에게 흰 공 $1$개, 빨간 공 $1$개씩을 각각 나누어 준다. 남은 흰 공 $1$개, 빨간 공 $2$개에 대하여 흰 공은 학생 $B$를 제외한 두 명의 학생 $C , D$ 중에서 한 명을 택하여 나누어 주고, 빨간 공은 세 명의 학생 $B , C , D$ 중에서 한 명을 택하여 나누어 준다. 이 때, 마지막에 흰 공을 받는 학생에게 빨간 공 $2$개를 모두 나누어 주는 경우를 제외해야 하므로 경우의 수는 $2 \times \left( {} _{3} \mathrm{H} _{2} - 1 \right)$$= 2 \times \left( {} _{4} \mathrm{C} _{2} - 1 \right)$$= \mathit{10}$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $3 \times 10$$= 30$ (ⅳ) 순서쌍 $\left( b , w \right)$가 $\left( 2 , 1 \right)$일 때 조건 (다)를 만족시키지 않는다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $15 + 6 + 30$$= 51$