색깔 공 분배

$3$명의 학생을 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$라 하자. (ⅰ) $1$명의 학생이 흰 공 $2$개를 모두 받는 경우 흰 공 $2$개를 모두 받는 $1$명의 학생을 정하는 경우의 수는 ${}_{3} \mathrm{C} _{1} = 3$ 흰 공 $2$개를 모두 받은 학생이 $\mathrm{A}$일 때, 학생 $\mathrm{A}$는 빨간 공과 검은 공을 각각 적어도 $1$개씩 받아야 한다. 학생 $\mathrm{A}$에서 빨간 공 $1$개와 검은 공 $1$개를 주고, 남은 빨간 공 $2$개와 검은 공 $2$개를 학생 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 나누어 주는 경우의 수는 ${}_{3} \mathrm{H} _{2} \times _{3} \mathrm{H} _{2} = 36$ 학생 $\mathrm{B}$가 공을 하나도 받지 못하는 경우의 수는 남은 빨간 공 $2$개와 검은 공 $2$개를 학생 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$에게 나누어 주는 경우의 수이므로 ${}_{2} \mathrm{H} _{2} \times _{2} \mathrm{H} _{2} = 9$ 같은 방법으로 학생 $\mathrm{C}$가 공을 하나도 받지 못하는 경우의 수도 ${}_{2} \mathrm{H} _{2} \times _{2} \mathrm{H} _{2} = 9$ 학생 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$가 모두 공을 하나도 받지 못하는 경우의 수는 ${}_{1} \mathrm{H} _{2} \times _{1} \mathrm{H} _{2} = 1$ 그러므로 $1$명의 학생이 흰 공 $2$개를 모두 받도록 나누어 주는 경우의 수는 $3 \times ( 36 - 2 \times 9 + 1 ) = 57$ (ⅱ) $2$명의 학생이 흰 공을 $1$개씩 받는 경우 흰 공을 $1$개씩 받는 $2$명의 학생을 정하는 경우의 수는 ${}_{3} \mathrm{C} _{2} = 3$ 흰 공을 $1$개씩 받은 학생이 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$일 때, 학생 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 빨간 공과 검은 공을 각각 적어도 $1$개씩 받아야 한다. 학생 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에게 각각 빨간 공 $1$개와 검은 공 $1$개를 주고, 남은 빨간 공 $1$개와 검은 공 $1$개를 학생 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에게 나누어 주는 경우의 수는 ${}_{3} \mathrm{H} _{1} \times _{3} \mathrm{H} _{1} = 9$ 학생 $\mathrm{C}$가 공을 하나도 받지 못하는 경우의 수는 ${}_{2} \mathrm{H} _{1} \times _{2} \mathrm{H} _{1} = 4$ 그러므로 $2$명의 학생이 흰 공을 $1$개씩 받도록 나누어 주는 경우의 수는 $3 \times ( 9 - 4 ) = 15$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $57 + 15 = 72$