확률과 통계순열과 조합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

색칠판 칠하기

문제

그림과 같이 합동인 99개의 정사각형으로 이루어진 색칠판이 있다.

빨간색과 파란색을 포함하여 총 99가지의 서로 다른 색으로 이 색칠판을 다음 조건을 만족시키도록 칠하려고 한다.

(가) 주어진 99가지의 색을 모두 사용하여 칠한다. (나) 한 정사각형에는 한 가지 색만을 칠한다. (다) 빨간색과 파란색이 칠해진 두 정사각형은 꼭짓점을 공유하지 않는다.

색칠판을 칠하는 경우의 수는 k×7!k \times 7 !이다. kk의 값을 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점]

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해설

[출제의도] 원순열을 이용하여 문제를 해결한다. 회전하여 일치하는 것을 같은 것으로 보므로 빨간색을 칠할 정사각형은 그림과 같이 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C} 중에서 택할 수 있다.

(ⅰ) A\mathrm{A}에 빨간색을 칠하는 경우 파란색을 칠할 수 있는 경우의 수는 55이다. 나머지 77개의 정사각형에 남은 77개의 색을 칠하는 경우의 수는 7!7 !이다. (ⅱ) B\mathrm{B}에 빨간색을 칠하는 경우 파란색을 칠할 수 있는 경우의 수는 33이다. 나머지 77개의 정사각형에 남은 77개의 색을 칠하는 경우의 수는 7!7 !이다. (ⅲ) C\mathrm{C}에 빨간색을 칠하는 경우 파란색을 어떤 정사각형에 칠해도 빨간색이 칠해진 정사각형과 꼭짓점을 공유하므로 조건을 만족시킬 수 없다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는 (3+5)×7!=8×7!\left( 3 + 5 \right) \times 7 ! = 8 \times 7 ! 따라서 k=8k = 8

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#원순열#경우 나누기

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