색 종류 수의 기댓값

확률변수 $X$가 가질 수 있는 값은 $1$, $2$, $3$, $4$이므로 (ⅰ) $X = 1$일 때 모두 같은 색의 공이 나오는 경우이므로 $\mathrm{P} \mathit{\left( X = 1 \right)}$$\displaystyle = \frac{4}{{}_{4} \mathrm{\prod} _{4}}$$\displaystyle = \frac{4}{4 ^{4}}$$\displaystyle = \frac{1}{64}$ (ⅱ) $X = 2$일 때 두 종류의 색의 공이 나오는 경우이므로 $\mathrm{P} \mathit{\left( X = 2 \right)}$$\displaystyle = \frac{{}_{4} \mathrm{C} _{2} \times \left( \frac{4 !}{3 !} + \frac{4 !}{2 ! \times 2 !} + \frac{4 !}{3 !} \right)}{{}_{4} \mathrm{\prod} _{4}}$$\displaystyle = \frac{84}{4 ^{4}}$$\displaystyle = \frac{21}{64}$ (ⅲ) $X = 3$일 때 세 종류의 색의 공이 나오는 경우이므로 $\mathrm{P} \mathit{\left( X = 3 \right)}$$\displaystyle = \frac{{}_{4} \mathrm{C} _{1} \times _{3} \mathrm{C} _{2} \times \frac{4 !}{2 !}}{{}_{4} \mathrm{\prod} _{4}}$$\displaystyle = \frac{144}{4 ^{4}}$$\displaystyle = \frac{9}{16}$ (ⅳ) $X = 4$일 때 모두 다른 색의 공이 나오는 경우이므로 $\mathrm{P} \mathit{\left( X = 4 \right)}$$\displaystyle = \frac{4 !}{{}_{4} \mathrm{\prod} _{4}}$$\displaystyle = \frac{24}{4 ^{4}}$$\displaystyle = \frac{3}{32}$ 이상에서 확률변수 $X$의 확률분포표를 구하면 다음과 같다.

$\therefore$ $\mathrm{E} \mathit{\left( X \right)}$$\displaystyle = 1 \times \frac{1}{64} + 2 \times \frac{21}{64} + 3 \times \frac{9}{16} + 4 \times \frac{3}{32}$$\displaystyle = \frac{175}{64}$ $\therefore$ $\mathrm{E} \mathit{\left( 64 X - 10 \right)}$$= 64 \mathrm{E} \mathit{\left( X \right)} - 10$$= 165$