새 연산의 항등원과 역원

[출제의도] 실수의 연산에 대한 성질을 이해하기 ㄱ. $\left( 2 * 3 \right) \circledcirc 4 = 11 \circledcirc 4$ $= 4 4 - ( 1 1 + 4 ) + 2$ $= 3 1$ (참) ㄴ. 임의의 실수 $a$에 대하여 연산 ◎에 대한 항등원을 $e$라 하면, $a \circledcirc e = a$ $\leftrightarrow$ $a e - ( a + e ) + 2 = a$ $\leftrightarrow$ $a e - e - 2 a + 2 = 0$ $\leftrightarrow$ $( a - 1 ) ( e - 2 ) = 0$이므로 $e = 2$이다. 그러므로 연산 ◎에 대한 항등원은 $2$이다. (참) ㄷ. 임의의 실수 $b$에 대하여 연산$*$에 대한 항등원을 $e$라 하면, $b * e = b$ $\leftrightarrow$$( b + 1 ) ( e + 1 ) - 1 = b$ $\leftrightarrow$ $b e + b + e = b$ $\leftrightarrow$ $( b + 1 ) e = 0$이므로 $e = 0$이다. 이때, 연산 $*$에 대한 $1$의 역원을 $x$라 하면, $1 * x = 0$ $\leftrightarrow$ $2 ( x + 1 ) - 1 = 0$ $\leftrightarrow$ $2 x = - 1$이므로 $\displaystyle x = - \frac{1}{2}$이다. 그러므로 연산 $*$에 대한 $1$의 역원은 $\displaystyle - \frac{1}{2}$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ