미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사등분점 사잇각 탄젠트

문제

두 점 A(0,1)\mathrm{A} ( 0 , 1 ), B(2,0)\mathrm{B} ( 2 , 0 )을 이은 선분 AB\mathrm{AB}를 사등분하는 점을 각각 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}, R\mathrm{R}이라 하자. ∠POR=θ\mathrm{\angle} POR = \theta라 할 때, 30tan⁡θ30 \tan \theta의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값 구하기 P,Q,R\mathrm{P} , Q , R이 선분 AB\mathrm{AB}의 44등분점이므로 P(12,34)\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{2} , \frac{3}{4} \right), Q(1,12)\displaystyle \mathrm{Q} \left( 1 , \frac{1}{2} \right), R(32,14)\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{3}{2} , \frac{1}{4} \right)이고, ∠POB=α\angle \mathrm{POB} = \alpha, ∠ROB=β\angle \mathrm{ROB} = \beta라 하면, tan⁡α=32,tan⁡β=16\displaystyle \tan \alpha = \frac{3}{2} , \tan \beta = \frac{1}{6}이다. ∴tan⁡θ=tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β=1615\displaystyle \therefore \tan \theta = \tan ( \alpha - \beta ) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} = \frac{16}{15} ∴30×1615=32\displaystyle \therefore 30 \times \frac{16}{15} = 32

태그

#탄젠트 덧셈정리

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