미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

사다리꼴 넓이의 극한

문제

그림과 같이 자연수 nn에 대하여 직선 x=nx = n이 두 곡선 y=2xy = 2 ^{x}, y=(13)x\displaystyle y = \left( \frac{1}{3} \right) ^{x}과 만나는 점을 각각 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}, Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}이라 하자. 사다리꼴 PnQnQn+1Pn+1\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n} + 1} P _{\mathit{n} + 1}의 넓이를 AnA _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞An2n−1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{A _{n}}{2 ^{n - 1}}}의 값은? [3점]

①11②22③33④44⑤55

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③

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해설

[출제의도] 무한수열의 극한을 이용하여 수학내적 문제해결하기 사다리꼴 PnQnQn+1Pn+1\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n} \mathrm{+} 1} P _{\mathit{n} + 1}의 꼭짓점의 좌표는 Pn(n,2n)\mathrm{P} _{\mathit{n}} ( \mathit{n} , 2 ^{n} ), Qn(n,(13)n)\displaystyle \mathrm{Q} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} , \left( \frac{1}{3} \right) ^{n} \right),Qn+1(n+1,(13)n+1)\displaystyle \mathrm{Q} _{\mathit{n} + 1} \left( \mathit{n} + 1 , \left( \frac{1}{3} \right) ^{n + 1} \right), Pn+1(n+1,2n+1)\mathrm{P} _{\mathit{n} + 1} ( \mathit{n} + 1 , 2 ^{n + 1} ) 이므로 사다리꼴 PnQnQn+1Pn+1\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n}} \mathrm{Q} _{\mathit{n} \mathrm{+} 1} P _{\mathit{n} + 1}의 넓이 An=12⋅1⋅{(2n−(13)n)+(2n+1−(13)n+1)}\displaystyle A _{n} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left\{ \left( 2 ^{n} - \left( \frac{1}{3} \right) ^{n} \right) + \left( 2 ^{n + 1} - \left( \frac{1}{3} \right) ^{n + 1} \right) \right\} 따라서 lim⁡n→∞An2n−1=lim⁡n→∞{1−(16)n+2−13(16)n}=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{A _{n}}{2 ^{n - 1}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ 1 - \left( \frac{1}{6} \right) ^{n} + 2 - \frac{1}{3} \left( \frac{1}{6} \right) ^{n} \right\} = 3}}

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#수열의 극한#지수함수

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