미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사다리꼴 넓이 극한

문제

그림과 같이 직선 x=1x = 1이 두 곡선 y=4x\displaystyle y = \frac{4}{x}, y=−6x\displaystyle y = \mathit{-} \frac{6}{x}과 만나는 점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 하자. 자연수 nn에 대하여 직선 x=n+1x = n + 1이 두 곡선 y=4x\displaystyle y = \frac{4}{x}, y=−6x\displaystyle y = \mathit{-} \frac{6}{x}과 만나는 점을 각각 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}, Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}이라 할 때, 사다리꼴 ABQnPn\mathrm{ABQ} _{\mathit{n}} \mathrm{P} _{\mathit{n}}의 넓이를 SnS _{n}이라 하자. lim⁡n→∞Snn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{n}}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기 직선 x=1x = 1이 두 곡선 y=4x\displaystyle y = \frac{4}{x}, y=−6x\displaystyle y = \mathit{-} \frac{6}{x}과 만나는 점 A\mathrm{A}의 좌표는 (1,4)\mathrm{\left( \mathit{1} , 4 \right)}, 점 B\mathrm{B}의 좌표는 (1,−6)\mathrm{\left( 1 , - 6 \right)} 직선 x=n+1x = n + 1이 곡선 y=4x\displaystyle y = \frac{4}{x}와 만나는 점 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}의 좌표는 (n+1,4n+1)\displaystyle \left( n + 1 , \frac{4}{n + 1} \right) 직선 x=n+1x = n + 1이 곡선 y=−6x\displaystyle y = \mathit{-} \frac{6}{x}과 만나는 점 Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}의 좌표는 (n+1,−6n+1)\displaystyle \left( n + 1 , - \frac{6}{n + 1} \right) 사다리꼴 ABQnPn\mathrm{ABQ} _{\mathit{n}} P _{\mathit{n}}의 넓이는 Sn=12×n×(10+4n+1+6n+1)\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} \times n \times \left( 10 + \frac{4}{n + 1} + \frac{6}{n + 1} \right)이므로 lim⁡n→∞Snn=lim⁡n→∞n2n(10+10n+1)=5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{S _{n}}{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n}{2 n} \left( 10 + \frac{10}{n + 1} \right) = 5}

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