사다리꼴 넓이 등비급수

점 $\mathrm{C} _{1}$에서 선분 $\mathrm{A} _{1} B _{1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H} _{1}$이라 하면 직각삼각형 $\mathrm{C} _{1} H _{1} B _{1}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} H _{1}}} = 2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{1} H _{1}}} = \sqrt{6 ^{2} - 2 ^{2}} = 4 \sqrt{2}$이고 직각삼각형 $\mathrm{A} _{1} H _{1} C _{1}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} C _{1}}} = \sqrt{8 ^{2} + ( 4 \sqrt{2} ) ^{2}} = 4 \sqrt{6}$ 삼각형 $\mathrm{A} _{1} C _{1} D _{1}$과 삼각형 $\mathrm{G} _{1} F _{1} D _{1}$은 서로 닮음이고 닮음비가 $2 : 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{G _{1} F _{1}}} = 2 \sqrt{6}$ 점 $\mathrm{D} _{1}$에서 선분 $\mathrm{G} _{1} F _{1}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I} _{1}$이라 하면 직각삼각형 $\mathrm{D} _{1} I _{1} F _{1}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{D _{1} I _{1}}} = \sqrt{3 ^{2} - ( \sqrt{6} ) ^{2}} = \sqrt{3}$ $\displaystyle S _{1} = 2 \times \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{6} \times \sqrt{3} = 6 \sqrt{2}$ 다음은 그림 $R _{n + 1}$의 일부이다.

사다리꼴 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}}} : {\overline{A _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}}} = 5 : 3$이고, 사다리꼴 $\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n} + 1}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1}}} : {\overline{A _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n} + 1}}} = 5 : 3$이므로 두 선분 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$과 $\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n} + 1}$이 서로 평행하다. 직선 $\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n} + 1}$이 선분 $\mathrm{C} _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$과 만나는 점을 $\mathrm{J} _{\mathit{n}}$이라 하자. 두 삼각형 $\mathrm{G} _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$, $\mathrm{D} _{\mathit{n} + 1} F _{\mathit{n}} J _{\mathit{n}}$은 서로 닮음이고, $\mathrm{\angle} D _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}} G _{\mathit{n}} = \angle C _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n} + 1} F _{\mathit{n}}$이므로 두 삼각형 $\mathrm{G} _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$, $\mathrm{D} _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}}$은 서로 닮음이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{D _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}}} = \mathit{a} _{n} , \mathrm{\overline{D _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1}}} = \mathit{a} _{n + 1}$이라 하면 이등변삼각형 $\mathrm{D} _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1} F _{\mathit{n}}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{D _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1}}} : {\overline{D _{\mathit{n} + 1} F _{\mathit{n}}}} = 2 \sqrt{6} : 3$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{D _{\mathit{n} + 1} F _{\mathit{n}}}} = \frac{3}{2 \sqrt{6}} {\overline{D _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1}}} \frac{= \mathit{\sqrt{6}}}{4} a _{n + 1}$ 이등변삼각형 $\mathrm{D} _{\mathit{n} + 1} F _{\mathit{n}} J _{\mathit{n}}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{D _{\mathit{n} + 1} F _{\mathit{n}}}} : {\overline{D _{\mathit{n} + 1} J _{\mathit{n}}}} = 2 \sqrt{6} : 3$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{D _{\mathit{n} + 1} J _{\mathit{n}}}} = \frac{3}{2 \sqrt{6}} {\overline{D _{\mathit{n} + 1} F _{\mathit{n}}}} = \frac{\mathit{3}}{8} a _{n + 1}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{\mathit{n} + 1} J _{n}}} = {\overline{A _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n} + 1}}} + {\overline{D _{\mathit{n} + 1} J _{\mathit{n}}}}$이므로 $\displaystyle a _{n} = \mathrm{\overline{A _{\mathit{n} + 1} J _{\mathit{n}}}} = \mathit{a} _{n + 1} + \frac{3}{8} a _{n + 1} = \frac{11}{8} a _{n + 1}$ $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{8}{11} a _{n}$이므로 두 사다리꼴 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$과 $\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n} + 1}$ 의 닮음비가 $11 : 8$이며 넓이의 비는 $121 : 64$이다. 따라서 $S _{n}$은 첫째항이 $\displaystyle 6 \sqrt{2}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{64}{121}$인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{6 \sqrt{2}}{1 - \frac{64}{121}} = \frac{242}{19} \sqrt{2}$