확률과 통계확률분포수능 기출기본 문제 (3점 중반)

사다리꼴 확률밀도함수

문제

구간 $\left[ - 3 a , 3 a \right]$ 에서 정의된 연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f ( x )$ 의 그래프가 아래 그림과 같을 때, 확률 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} | X | \leq \frac{1}{2} )$ 의 값은? (단, $f ( a ) = f ( - a ) = 1$ ) [3점]

① $\displaystyle \frac{1}{2}$ ② $\displaystyle \frac{3}{4}$ ③ $\displaystyle \frac{4}{5}$ ④ $\displaystyle \frac{6}{7}$ ⑤ $\displaystyle \frac{7}{8}$

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⑤

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해설

구간 $\left[ - 3 a , 3 a \right]$ 에서 정의된 연속확률변수 $\mathrm{X}$ 의 확률밀도 함수 $f ( x )$ 는 이 구간에서 함수 $f ( x )$ 와 둘러싸인 도형의 넓이가 $1$ 이 되어야 하므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 2 a + 6 a \right) \times 1 = 1 \therefore a = \frac{1}{4}$ $\displaystyle \begin{aligned} \therefore \mathrm{P} ( \left| \mathrm{X} \right| \leq \frac{1}{2} ) & = 1 - 2 \times \mathrm{P} ( \frac{1}{2} \leq \mathrm{X} \leq \frac{3}{4} ) \end{aligned}$ $\displaystyle = 1 - 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{7}{8}$

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