사다리꼴 도형의 등비급수

[출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

$\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{1} C _{1}}} = \sqrt{3}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{C} _{1} D _{1}}} = 1$, $\displaystyle \angle \mathrm{D} _{1} C _{1} B _{1} = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{1} D _{1}}} = 2$, $\displaystyle \angle \mathrm{D} _{1} B _{1} A = \frac{\pi}{3}$ 삼각형 $\mathrm{AB} _{1} D _{1}$은 한 변의 길이가 $2$인 정삼각형이다. 삼각형 $\mathrm{AB} _{1} D _{1}$의 외접원을 $O _{1}$이라 하면 $\displaystyle \angle \mathrm{E} _{1} B _{1} A = \frac{\pi}{2}$이므로 선분 $\mathrm{AE} _{1}$은 원 $O _{1}$의 지름이고 원 $O _{1}$의 반지름의 길이는 $\displaystyle \frac{2}{3} \sqrt{3}$이다. 원 $O _{1}$의 중심을 $\mathrm{O} _{1}$이라 하면 $\displaystyle \angle \mathrm{B} _{1} AE _{1} = \frac{\pi}{6}$에서 $\displaystyle \angle \mathrm{B} _{1} O _{1} E _{1} = \frac{\pi}{3}$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{1} B _{1}}} = {\overline{\mathrm{O} _{1} E _{1}}}$이므로 삼각형 $\mathrm{O} _{1} B _{1} E _{1}$은 정삼각형이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{C} _{1} E _{1}}} = {\overline{\mathrm{B} _{1} C _{1}}} - {\overline{\mathrm{B} _{1} E _{1}}} = {\overline{\mathrm{B} _{1} C _{1}}} - {\overline{\mathrm{O} _{1} B _{1}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ $\displaystyle \angle \mathrm{E} _{1} O _{1} D _{1} = \frac{\pi}{3}$이므로 두 부채꼴 $\mathrm{O} _{1} E _{1} D _{1}$, $\mathrm{O} _{1} B _{1} E _{1}$은 서로 합동이다. $S _{1}$은 삼각형 $\mathrm{E} _{1} C _{1} D _{1}$의 넓이와 같으므로 $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{C} _{1} E _{1}}} \times {\overline{\mathrm{C} _{1} D _{1}}} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{6}$ 다음은 그림 $R _{n + 1}$의 일부이다.

$\displaystyle {\overline{\mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}}} = a _{n}$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}} = \sqrt{3} a _{n}$ 직각삼각형 $\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}}} = \mathrm{2} \mathit{a} _{n}$ $\displaystyle \angle \mathrm{D} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{A} = \frac{\pi}{3}$, $\displaystyle \angle \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{AD} _{\mathit{n}} = \angle \mathrm{B} _{\mathit{1}} \mathrm{AD} _{1} = \frac{\pi}{3}$이므로 삼각형 $\mathrm{AB} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}$은 한 변의 길이가 $2 a _{n}$인 정삼각형이다. 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB} _{\mathit{n}}}} = \mathit{2} a _{n}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}}} = a _{n + 1}$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}}} = \sqrt{3} a _{n + 1}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB} _{\mathit{n} + 1}}} = \mathit{2} a _{n + 1}$ $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}}}{{\overline{\mathrm{AB} _{\mathit{n}}}}} = \frac{{\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}}}}{{\overline{\mathrm{AB} _{\mathit{n} + 1}}}}$이므로 점 $\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}$은 직선 $\mathrm{AC} _{\mathit{n}}$ 위의 점이다. 그러므로 사다리꼴 $\mathrm{A} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}$과 사다리꼴 $\mathrm{A} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}$은 서로 닮음이다. 직각삼각형 $\mathrm{AB} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC} _{\mathit{n}}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{AB} _{\mathit{n}}}} ^{2} + {\overline{B _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}} ^{2}} = \sqrt{7} a _{n}$ 직각삼각형 $\mathrm{AB} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC} _{\mathit{n} + 1}}} = \sqrt{7} a _{n + 1}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}}} = {\overline{\mathrm{A} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}} - {\overline{\mathrm{A} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}}} = \sqrt{7} \left( a _{n} - a _{n + 1} \right)$ 정삼각형 $\mathrm{AB} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}$의 외접원을 $O _{n}$이라 하면 $\displaystyle \angle \mathrm{E} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{A} = \frac{\pi}{2}$이므로 선분 $\mathrm{A} \mathrm{E} _{\mathit{n}}$은 원 $O _{n}$의 지름이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{E} _{\mathit{n}}}} = \mathit{\overline{\mathrm{AB} _{\mathit{n}}}} \times \tan \frac{\pi}{6} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a _{n}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{E} _{\mathit{n}}}} = {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}} - {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{E} _{\mathit{n}}}} \mathit{=} \frac{\sqrt{3}}{3} a _{n}$ 선분 $\mathrm{AE} _{\mathit{n}}$을 지름으로 하는 반원에 대한 원주각의 크기는 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{A} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{E} _{\mathit{n}} = \frac{\pi}{2}$ $\displaystyle \angle \mathrm{E} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n}} = \pi - \angle \mathrm{A} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{E} _{\mathit{n}} = \frac{\pi}{2}$ 두 삼각형 $\mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{AB} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{E} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}$은 서로 닮음이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC} _{\mathit{n}}}} : {\overline{\mathrm{E} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}} = {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}} : {\overline{\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}}$ $\displaystyle \sqrt{7} a _{n} : \frac{\sqrt{3}}{3} a _{n} = \sqrt{3} a _{n} : \sqrt{7} \left( a _{n} - a _{n + 1} \right)$ $a _{n} ^{2} = 7 a _{n} \left( a _{n} - a _{n + 1} \right)$ $7 a _{n + 1} = 6 a _{n}$ $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{6}{7} a _{n}$이므로 사다리꼴 $\mathrm{A} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}$과 사다리꼴 $\mathrm{A} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}$의 닮음비가 $7 : 6$이고 넓이의 비는 $49 : 36$이다. 따라서 $S _{n}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{36}{49}$인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{1 - \frac{36}{49}} = \frac{49}{78} \sqrt{3}$