사다리꼴 벡터 크기

[출제의도] 두 벡터의 합을 이해하여 벡터의 크기를 구한다. 선분 ${\mathrm{BC}}$의 중점을 ${\mathrm{M}}$이라 하면 $\displaystyle \frac{\vec{\mathrm{AB}} + \vec{\mathrm{AC}}}{2} = \vec{\mathrm{AM}}$이다. $\displaystyle \left| \vec{\mathrm{AB}} + \vec{\mathrm{AC}} \right| = 2 \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle \left| \vec{\mathrm{AM}} \right| = \sqrt{5}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{BM}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{CM}}$이고 변 ${\mathrm{AD}}$와 변 ${\mathrm{BC}}$가 평행하므로 사각형 ${\mathrm{ABMD}}$와 사각형 ${\mathrm{AMCD}}$는 평행사변형이다. 평행사변형 ${\mathrm{AMCD}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{AM}}$$\displaystyle = \sqrt{5}$ 사각형 ${\mathrm{ABMD}}$가 평행사변형이므로 $\angle {\mathrm{\mathrm{\mathrm{MB}}} A}$$= \angle {\mathrm{CMD}}$$= \angle {\mathrm{DCM}}$ 즉 삼각형 ${\mathrm{DMC}}$는 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{DM}}} = \sqrt{5}$ 점 ${\mathrm{D}}$에서 선분 ${\mathrm{BC}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{CM}} = 2$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{HM}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{CH}}$$= 1$ 직각삼각형 ${\mathrm{DMH}}$에서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{DH}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{DM}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{HM}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{5 - 1}$$= 2$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{BM}} + \overline{\mathrm{HM}}$$= 2 + 1$$= 3$ 직각삼각형 ${\mathrm{DBH}}$에서 $\left| \vec{\mathrm{BD}} \right| ^{2}$$= \left| \vec{\mathrm{BH}} \right| ^{2} + \left| \vec{\mathrm{DH}} \right| ^{2}$$= 3 ^{2} + 2 ^{2}$$= 13$ 따라서 $\displaystyle \left| \vec{\mathrm{BD}} \right| = \sqrt{13}$