사차방정식 실근 조건

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-다항함수의 미분법 $F ( x ) = f ( x ) - g ( x )$$= x ^{4} - 2 x ^{3} - ( k - 4 ) x + k - 3$ 으로 놓으면 $F ( 1 ) = 0$이므로

따라서 $F ( x ) = ( x - 1 ) ( x ^{3} - x ^{2} - x - k + 3 )$ $x ^{3} - x ^{2} - x - k + 3 = 0$에서 $x ^{3} - x ^{2} - x + 3 = k \cdots \text{㉠}$ $h ( x ) = x ^{3} - x ^{2} - x + 3$으로 놓으면 $h' ( x ) = 3 x ^{2} - 2 x - 1 = ( 3 x + 1 ) ( x - 1 )$ $h' ( x ) = 0$에서 $\displaystyle x = - \frac{1}{3}$ 또는 $x = 1$이므로 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle h \left( - \frac{1}{3} \right) = - \frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{86}{27}$ $h ( 1 ) = 1 - 1 - 1 + 3 = 2$ 따라서 함수 $h ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

따라서 삼차방정식 $h ( x ) = k$의 모든 근이 실수이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle 2 \leq k \leq \frac{86}{27}$이다. 따라서 방정식 $f ( x ) = g ( x )$의 모든 근이 실수가 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위는 $\displaystyle 2 \leq k \leq \frac{86}{27}$ 이므로 구하는 실수 $k$의 최솟값은 2이다.