사분원 위 점의 속도

[출제의도] 좌표평면 위의 점의 운동 상태와 관련된 문제를 해결한다. 점 $\mathrm{P}$의 속력이 매초 $1$이므로 $t$초 후 호 $\mathrm{AP}$의 길이가 $t$이고 따라서 선분 $\mathrm{O} P$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 $t$이다. 따라서 직선 $\mathrm{O} P$의 방정식은 $y = \left( \tan t \right) x$이고, 점 $\mathrm{Q}$는 두 직선 $y = \mathit{-} x + 1$과 $y = \left( \tan t \right) x$의 교점이므로 시각 $t$에서의 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{\mathit{1}}{1 + \tan t} , \frac{\tan t}{1 + \tan t} \right)$이다. 따라서 점 $\mathrm{Q}$의 속도는 $\displaystyle \left( - \frac{\sec ^{2} t}{\left( 1 + \tan t \right) ^{2}} , \frac{\sec ^{2} t}{\left( 1 + \tan t \right) ^{2}} \right)$이다. 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표가 $\displaystyle \frac{4}{5}$일 때, 점 $\mathrm{P}$는 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$ 위의 점이므로 그 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{4}{5} , \frac{3}{5} \right)$이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표가 $\displaystyle \frac{4}{5}$일 때의 시각을 $t _{1}$이라 하면 $\displaystyle \tan t _{1} = \frac{3}{4}$이므로 $\displaystyle \sec ^{2} t _{1} = \frac{25}{16}$ 이때 점 $\mathrm{Q}$의 속도는 $\displaystyle \left( - \frac{\frac{25}{16}}{\left( \frac{7}{4} \right) ^{2}} , \frac{\frac{25}{16}}{\left( \frac{7}{4} \right) ^{2}} \right)$$\displaystyle = \left( - \frac{25}{49} , \frac{25}{49} \right)$이므로 $b - a$$\displaystyle = \frac{25}{49} - \left( - \frac{25}{49} \right)$$\displaystyle = \frac{50}{49}$