사분원 직사각형 넓이 변화율

내접하는 사각형의 $x$축, $y$축 위의 두 꼭짓점을 각각 $\mathrm{S}$, $\mathrm{R}$라 하고 선분 $\mathrm{OC}$와 선분 $\mathrm{PQ}$, 선분 $\mathrm{RS}$의 교점을 각각 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$라 하자.

삼각형 $\mathrm{DOP}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DP}} = \overline{OP} \sin \frac{\pi}{36} \mathit{t}$$\displaystyle \mathrm{=} \sin \frac{\pi}{36} t$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OD}} = \overline{OP} \cos \frac{\pi}{36} \mathit{t}$$\displaystyle = \cos \frac{\pi}{36} t$ $\displaystyle \mathrm{\angle} EOS = \frac{\pi}{4}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OE}} = \overline{ES} ( = \overline{DP} )$ 이다. 그러므로 $\mathrm{\square} PQRS$의 넓이 $S ( t )$는 $\displaystyle S ( t ) = \mathrm{\overline{PQ}} \cdot \overline{PS}$$\displaystyle = \mathrm{2} \overline{DP} \cdot \left( \overline{OD} - \overline{OE} \right)$ $\displaystyle = 2 \sin \frac{\pi}{36} t \left( \cos \frac{\pi}{36} t - \sin \frac{\pi}{36} t \right)$ $\displaystyle = 2 \sin \frac{\pi}{36} t \cos \frac{\pi}{36} t - 2 \sin ^{2} \frac{\pi}{36} t$ $\displaystyle = \sin \frac{\pi}{18} t - 2 \sin ^{2} \frac{\pi}{36} t$ $\displaystyle S' ( t ) = \frac{\pi}{18} \left( \cos \frac{\pi}{18} t - 2 \sin \frac{\pi}{36} t \cos \frac{\pi}{36} t \right)$ $\displaystyle = \frac{\pi}{18} \left( \cos \frac{\pi}{18} t - \sin \frac{\pi}{18} t \right)$ $\displaystyle S' ( 6 ) = \frac{\pi}{18} \left( \cos \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{3} \right)$$\displaystyle = \frac{1 - \sqrt{3}}{36} \pi$