미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사분원 제거 도형 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 $3$ 인 정사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$ 이 있다. 네 선분 $\mathrm{A} _{1} B _{1}$ , $\mathrm{B} _{1} C _{1}$ , $\mathrm{C} _{1} D _{1}$ , $\mathrm{D} _{1} A _{1}$ 을 각각 $1 : 2$ 로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{E} _{1}$ , $\mathrm{F} _{1}$ , $\mathrm{G} _{1}$ , $\mathrm{H} _{1}$ 이라 하고, 정사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$ 의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 $\mathrm{A} _{1} E _{1}$ , $\mathrm{B} _{1} F _{1}$ , $\mathrm{C} _{1} G _{1}$ , $\mathrm{D} _{1} H _{1}$ 을 각각 반지름으로 하는 $4$ 개의 사분원을 잘라내어 얻은 모양의 도형을 $R _{1}$ 이라 하자. 정사각형 $\mathrm{E} _{1} F _{1} G _{1} H _{1}$ 과 도형 $R _{1}$ 과의 교점 중 정사각형 $\mathrm{E} _{1} F _{1} G _{1} H _{1}$ 의 꼭짓점이 아닌 $4$ 개의 점을 $\mathrm{A} _{2}$ , $\mathrm{B} _{2}$ , $\mathrm{C} _{2}$ , $\mathrm{D} _{2}$ 라 하자. 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$ 에서 네 선분 $\mathrm{A} _{2} B _{2}$ , $\mathrm{B} _{2} C _{2}$ , $\mathrm{C} _{2} D _{2}$ , $\mathrm{D} _{2} A _{2}$ 를 각각 $1 : 2$ 로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{E} _{2}$ , $\mathrm{F} _{2}$ , $\mathrm{G} _{2}$ , $\mathrm{H} _{2}$ 라 하고, 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$ 의 네 꼭짓점을 중심으로 하고 네 선분 $\mathrm{A} _{2} E _{2}$ , $\mathrm{B} _{2} F _{2}$ , $\mathrm{C} _{2} G _{2}$ , $\mathrm{D} _{2} H _{2}$ 를 각각 반지름으로 하는 $4$ 개의 사분원을 잘라내어 얻은 모양의 도형을 $R _{2}$ 라 하자. 정사각형 $\mathrm{E} _{2} F _{2} G _{2} H _{2}$ 에서 도형 $R _{2}$ 를 얻는 것과 같은 방법으로 얻은 모양의 도형을 $R _{3}$ 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 모양의 도형 $R _{n}$ 의 넓이를 $S _{n}$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}$ 의 값은? [4점]

$\cdots$

① $\displaystyle \frac{39}{32} \left( 9 - \pi \right)$ ② $\displaystyle \frac{5}{4} ( 9 - \pi )$ ③ $\displaystyle \frac{21}{16} ( 9 - \pi )$ ④ $\displaystyle \frac{11}{8} ( 9 - \pi )$ ⑤ $\displaystyle \frac{45}{32} ( 9 - \pi )$

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⑤

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해설

[출제의도] 무한급수를 활용하여 추론하기 그림과 같이 정사각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}$ 에서 점 $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$ 을 중심으로 하고 선분 $\mathrm{B} _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}}$ 을 반지름으로 하는 사분원이 선분 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{I} _{\mathit{n}}$ 이라 하고, $\displaystyle \mathrm{\overline{E _{\mathit{n}} I _{\mathit{n}}}} = \mathit{l} _{n}$ 이라 하자.

$\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}}}} = l _{n}$ , $\displaystyle {\overline{\mathrm{E} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}}} = 2 l _{n}$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{E} _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}}}} = \sqrt{5} l _{n}$ 점 $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$ 에서 선분 $\mathrm{F} _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{T} _{\mathit{n}}$ 이라 하자. $\mathrm{\triangle} B _{\mathit{n}} \mathrm{F} _{\mathit{n}} \mathrm{T} _{\mathit{n}} \backsim \mathrm{\triangle} E _{\mathit{n}} \mathrm{F} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{F} _{\mathit{n}}}} : {\overline{\mathrm{F} _{\mathit{n}} \mathrm{T} _{\mathit{n}}}} = {\overline{\mathrm{E} _{\mathit{n}} \mathrm{F} _{\mathit{n}}}} : {\overline{\mathrm{F} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}}}$ $\therefore$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} _{\mathit{n}} T _{\mathit{n}}}} = \frac{\left( {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{F} _{\mathit{n}}}} \right) ^{2}}{{\overline{\mathrm{E} _{\mathit{n}} \mathrm{F} _{\mathit{n}}}}} = \frac{\sqrt{5}}{5} l _{n}$ $\triangle \mathrm{B} _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1}$ 이 이등변삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1}}} = 2 {\overline{\mathrm{F} _{\mathit{n}} T _{\mathit{n}}}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} l _{n}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} E _{\mathit{n}}}} = {\overline{\mathrm{E} _{\mathit{n}} F _{\mathit{n}}}} - {\overline{\mathrm{F} _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1}}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5} l _{n}$ $\mathrm{\triangle} A _{\mathit{n} + 1} E _{\mathit{n}} D _{\mathit{n} + 1} \mathrm{\equiv} \triangle B _{\mathit{n} + 1} F _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1}$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n} + 1}}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5} l _{n}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1}}} = \frac{\sqrt{65}}{5} l _{n}$ $\displaystyle l _{n + 1} = \frac{1}{3} {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1}}} = \frac{\sqrt{65}}{15} l _{n}$ 이므로 $\displaystyle S _{n+1} = \frac{13}{45} S _{n}$ 그러므로 수열 $\left\{ S _{n} \right\}$ 은 $S _{1} = 9 - \pi$ 이고, 공비가 $\displaystyle \frac{13}{45}$ 인 등비수열이다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{9 - \pi}{1 - \frac{13}{45}} = \frac{45}{32} \left( 9 - \pi \right)$

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