미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사분원 닮음 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 11인 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1} 안에 꼭짓점 A1,C1\mathrm{A} _{1} , C _{1}을 중심으로 하고 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}, C1D1\mathrm{C} _{1} D _{1}을 반지름으로 하는 사분원을 각각 그린다. 선분 A1C1\mathrm{A} _{1} C _{1}이 두 사분원과 만나는 점 중 점 A1\mathrm{A} _{1}과 가까운 점을 A2\mathrm{A} _{2}, 점 C1\mathrm{C} _{1}과 가까운 점을 C2\mathrm{C} _{2}라 하자. 선분 A1D1\mathrm{A} _{1} D _{1}에 평행하고 점 A2\mathrm{A} _{2}를 지나는 직선이 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}과 만나는 점을 E1\mathrm{E} _{1}, 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}에 평행하고 점 C2\mathrm{C} _{2}를 지나는 직선이 선분 C1D1\mathrm{C} _{1} D _{1}과 만나는 점을 F1\mathrm{F} _{1}이라 하자. 삼각형 A1E1A2\mathrm{A} _{1} E _{1} A _{2}와 삼각형 C1F1C2\mathrm{C} _{1} F _{1} C _{2}를 그린 후 두 삼각형의 내부에 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 선분 A2C2\mathrm{A} _{2} C _{2}를 대각선으로 하는 정사각형을 그리고, 새로 그려진 정사각형 안에 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 두 개의 사분원과 두 개의 삼각형을 그리고 두 삼각형의 내부에 속하는 영역을 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

①112(2−1)\displaystyle \frac{1}{12} \left( \sqrt{2} - 1 \right)②16(2−1)\displaystyle \frac{1}{6} \left( \sqrt{2} - 1 \right)③14(2−1)\displaystyle \frac{1}{4} \left( \sqrt{2} - 1 \right)④13(2−1)\displaystyle \frac{1}{3} \left( \sqrt{2} - 1 \right)⑤512(2−1)\displaystyle \frac{5}{12} \left( \sqrt{2} - 1 \right)

정답 보기
③

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 규칙적으로 무한히 반복되는 도형에서 급수를 이용하여 넓이의 합을 구할 수 있는가?

정사각형 AnBnCnDn\mathrm{A} _{n} B _{n} C _{n} D _{n}의 한 변의 길이를 xnx _{n}, 두 대각선의 교점을 O\mathrm{O}라 하면 OAn‾=22xn\displaystyle {\overline{\mathrm{OA} _{n}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \mathit{x} _{n} 따라서, AnCn+1‾=xn\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{n} C _{n + 1}}} = \mathit{x} _{n}이므로 OCn+1‾=xn−22xn=(1−22)xn\displaystyle {\overline{\mathrm{OC} _{n + 1}}} = \mathit{x} _{n} - \frac{\sqrt{2}}{2} x _{n} = \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) x _{n} 따라서, AnCn‾:An+1Cn+1‾=2xn:2(1−22)xn\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{n} C _{n}}} : {\overline{\mathrm{A} _{n + 1} C _{n + 1}}} = \mathit{\sqrt{2}} x _{n} : 2 \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) x _{n}=2:(2−2)\displaystyle = \sqrt{2} : \left( 2 - \sqrt{2} \right) 이므로 닮음비는 2−22=22−22=2−1\displaystyle \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1 이고, 공비는 (2−1)2\displaystyle \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2}이다. 또한, x1=1x _{1} = 1이므로 A1A2‾=22−(1−22)=2−1\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} A _{2}}} \frac{= \mathit{\sqrt{2}}}{2} - \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2} - 1 이므로 S1=2×14(2−1)2=12(3−22)\displaystyle S _{1} = 2 \times \frac{1}{4} \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2} = \frac{1}{2} \left( 3 - 2 \sqrt{2} \right) 따라서, lim⁡n→∞Sn=12(3−22)1−(2−1)2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n} = \frac{\frac{1}{2} \left( 3 - 2 \sqrt{2} \right)}{1 - \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2}}}=12(3−22)22−2\displaystyle = \frac{\frac{1}{2} \left( 3 - 2 \sqrt{2} \right)}{2 \sqrt{2} - 2}=14(2−1)\displaystyle = \frac{1}{4} \left( \sqrt{2} - 1 \right)

태그

#등비급수#도형의 닮음

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로