미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

S_n/a_n 극한 존재 보기

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Snan\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{a _{n}}}의 값이 존재하는 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

보 기
ㄱ. an=2na _{n} = 2 ^{n} ㄴ. an=(−1)na _{n} = \left( - 1 \right) ^{n} ㄷ. Sn=3n−1S _{n} = 3 ^{n} - 1

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
③

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해설

ㄱ. an=2na _{n} = 2 ^{n}이므로 Sn=2n+1−2S _{n} = 2 ^{n+1} - 2이다. lim⁡n→∞Snan=lim⁡n→∞2n+1−22n=lim⁡n→∞(2−12n−1)=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{a _{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 ^{n+1} - 2}{2 ^{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( {2 - \frac{1}{2 ^{n-1}}} \right) = 2 ㄴ. an=(−1)na _{n} = ( - 1 ) ^{n}이면 Sn={n이짝수이면0n이홀수이면−1\displaystyle S _{n} = {\begin{cases} n \text{이} \text{짝수이면} & 0 \\ n \text{이} \text{홀수이면} & - 1 \end{cases}} 이므로 수열 {Snan}\displaystyle \left\{ \frac{S _{n}}{a _{n}} \right\}은 11또는 00으로 진동한다. ㄷ. Sn=3n−1S _{n} = 3 ^{n} - 1이므로 an=2⋅3n−1a _{n} = 2 \cdot 3 ^{n - 1} lim⁡n→∞Snan=lim⁡n→∞3n−12⋅3n−1=lim⁡n→∞12(3−13n−1)=32\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{a _{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 ^{n} - 1}{2 \cdot 3 ^{n-1}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{2} \left( 3 - \frac{1}{3 ^{n-1}} \right)} = \frac{3}{2}} ∴ㄱ, ㄷ의 경우에 lim⁡n→∞Snan\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{a _{n}}}가 존재한다.

태그

#수열의 극한#수열의 합#보기

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