로그의 소수부분과 p+q의 최솟값

$64 = 2 ^{6} < 77 < 2 ^{7} = 128$이므로 $6 < \log _{2} 77 < 7$ ∴ $a = \log _{2} 77 - 6$ $25 = 5 ^{2} < 77 < 5 ^{3} = 125$이므로 $2 < \log _{5} 77 < 3$ ∴ $b = \log _{5} 77 - 2$ $2 ^{p+a} 5 ^{q+b}$ $= 2 ^{p - 6 + \log _{2} 77} 5 ^{q - 2 + \log _{5} 77}$ $= 2 ^{p-6} \cdot 2 ^{\log _{2} 77} \cdot 5 ^{q - 2} \cdot 5 ^{\log _{5} 77}$ $= 2 ^{p-6} \cdot 77 \cdot 5 ^{q-2} \cdot 77$ $= 7 ^{2} \cdot 11 ^{2} \cdot 2 ^{p-6} \cdot 5 ^{q-2}$ $250 = 2 \times 5 ^{3}$이므로 $2 ^{p+a} 5 ^{q+b}$이 $250$의 배수이려면 $p - 6 \geq 1$, $q - 2 \geq 3$ ∴ $p \geq 7$, $q \geq 5$ ∴ $p + q \geq 12$ 따라서 구하는 $p + q$의 최솟값은 $12$이다.