미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그함수의 극한

문제

lim⁡x→0+ln⁡(2x2+3x)−ln⁡3xx\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{\ln \left( 2 x ^{2} + 3 x \right) - \ln 3 x}{x}의 값은? [3점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②12\displaystyle \frac{1}{2}③23\displaystyle \frac{2}{3}④56\displaystyle \frac{5}{6}⑤11

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③

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해설

[출제의도] 로그함수의 극한 이해하기 lim⁡x→0+ln⁡(2x2+3x)−ln⁡3xx\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{\ln \left( 2 x ^{2} + 3 x \right) - \ln 3 x}{x}=23×lim⁡x→0+ln⁡(2x3+1)2x3\displaystyle = \frac{2}{3} \times \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{\ln \left( \frac{2 x}{3} + 1 \right)}{\frac{2 x}{3}} =23×lim⁡x→0+ln⁡(2x3+1)32x\displaystyle = \frac{2}{3} \times \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \ln \left( \frac{2 x}{3} + 1 \right) ^{\frac{3}{2 x}} =23×ln⁡lim⁡x→0+(2x3+1)32x\displaystyle = \frac{2}{3} \times \ln \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left( \frac{2 x}{3} + 1 \right) ^{\frac{3}{2 x}} =23ln⁡e\displaystyle = \frac{2}{3} \ln e=23\displaystyle = \frac{2}{3}

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