로그함수 위 정삼각형

선분 $\mathrm{AC}$가 $y$축에 평행하므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$의 좌표를 각각 $\mathrm{A} \mathit{(} t , \log _{2} 4 t ) , \mathrm{B} \mathit{(} t , \log _{2} t )$ ($t > 1$)라고 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \log _{2} 4 t - \log _{2} t = \log _{2} \frac{4 t}{t} = 2$ 선분 $\mathrm{AC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 정삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} \mathit{=} \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}$ 따라서 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{B} \mathit{(} t - \sqrt{3} , \log _{2} 4 ( t - \sqrt{3} )$ 이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \mathit{=} \sqrt{( t - \sqrt{3} - t ) ^{2} + \left\{ \log _{2} 4 ( t - \sqrt{3} ) - \log _{2} 4 t \right\} ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{3 + \left\{ \log _{2} \frac{( t - \sqrt{3} )}{t} \right\} ^{2}} = 2$ 이므로 $\displaystyle \log _{2} \frac{( t - \sqrt{3} )}{t} = \pm 1$이다. 그런데 $t > 1$이므로 $\displaystyle \frac{t - \sqrt{3}}{t} < 1$ 따라서 $\displaystyle \log _{2} \frac{( t - \sqrt{3} )}{t} = - 1$ 이고 $\displaystyle \frac{( t - \sqrt{3} )}{t} = \frac{1}{2} , 2 ( t - \sqrt{3} ) = t$ $\displaystyle \therefore t = 2 \sqrt{3}$ 이 때 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{B} \mathit{(} \sqrt{3} , \log _{2} 4 \sqrt{3} )$이므로 $\displaystyle p = \sqrt{3} , q = \log _{2} 4 \sqrt{3}$ $\displaystyle \therefore p ^{2} \times 2 ^{q} = ( \sqrt{3} ) ^{2} \times 2 ^{\log _{2} 4 \sqrt{3}}$$\displaystyle = 3 \times 4 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}$