대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그함수 실근의 합

문제

m≤−10m \leq - 10인 상수 mm에 대하여 함수 f(x)f \left( x \right)는 f(x)={∣5log⁡2(4−x)+m∣(x≤0)5log⁡2x+m(x>0)\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} \left| 5 \log \mathit{_{2}} \left( 4 - x \right) + m \right| & & \left( x \leq 0 \right) \\ 5 \log \mathit{_{2}} x + m & & \left( x > 0 \right) \end{cases}} 이다. 실수 t(t>0)t \left( t > 0 \right)에 대하여 xx에 대한 방정식 f(x)=tf \left( x \right) = t의 모든 실근의 합을 g(t)g \left( t \right)라 하자. 함수 g(t)g \left( t \right)가 다음 조건을 만족시킬 때, f(m)f \left( m \right)의 값을 구하시오. [4점]

t≥at \geq a인 모든 실수 tt에 대하여 g(t)=g(a)g \left( t \right) = g \left( a \right)가 되도록 하는 양수 aa의 최솟값은 2\mathrm{2}이다.

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8

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해설

(ⅰ) m=−10m = - 10인 경우 f(0)=∣10−10∣=0f \left( 0 \right) = \left| 10 - 10 \right| = 0 t>0t > 0일 때, 방정식 5log⁡2(4−x)−10=t5 \log \mathit{_{2}} \left( 4 - x \right) - 10 = t의 실근을 x1x _{1}, 방정식 5log⁡2x−10=t5 \log \mathit{_{2}} x - 10 = t의 실근을 x2x _{2}라 하자.

5log⁡2(4−x1)−10=5log⁡2x2−105 \log \mathit{_{2}} \left( 4 - x _{1} \right) - 10 = 5 \log \mathit{_{2}} x _{2} - 10 log⁡2(4−x1)=log⁡2x2\log \mathit{_{2}} \left( 4 - x _{1} \right) = \log \mathit{_{2}} x _{2} 4−x1=x24 - x _{1} = x _{2}, x1+x2=4x _{1} + x _{2} = 4 t>0t > 0인 모든 실수 tt에 대하여 g(t)=4g \left( t \right) = 4이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) m<−10m < \mathit{-} 10인 경우 x<0x < 0에서 곡선 y=f(x)y = f \left( x \right)가 xx축과 만나는 점의 xx좌표를 α\alpha라 하면 f(x)={5log⁡2(4−x)+m(x≤α)−5log⁡2(4−x)−m(x<x≤0)5log⁡2x+m(x>0)\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 5 \log \mathit{_{2}} \left( 4 - x \right) + m & & \left( x \leq \alpha \right) \\ - 5 \log \mathit{_{2}} \left( 4 - x \right) - m & & \left( x < x \leq 0 \right) \\ 5 \log \mathit{_{2}} x + m & & \left( x > 0 \right) \end{cases}} f(0)=∣10+m∣=−10−mf \left( 0 \right) = \left| 10 + m \right| = - 10 - m ① 0<t<−10−m0 < t < \mathit{-} 10 - m일 때, 방정식 5log⁡2(4−x)+m=t5 \log \mathit{_{2}} \left( 4 - x \right) + m = t의 실근을 x1x _{1}, 방정식 −5log⁡2(4−x)−m=t- 5 \log \mathit{_{2}} \left( 4 - x \right) - m = t의 실근을 x2x _{2}, 방정식 5log⁡2x+m=t5 \log \mathit{_{2}} x + m = t의 실근을 x3x _{3}이라 하자.

5log⁡2(4−x1)+m=5log⁡2x3+m5 \log \mathit{_{2}} \left( 4 - x _{1} \right) + m = 5 \log \mathit{_{2}} x _{3} + m log⁡2(4−x1)=log⁡2x3\log \mathit{_{2}} \left( 4 - x _{1} \right) = \log \mathit{_{2}} x _{3} 4−x1=x34 - x _{1} = x _{3}, x1+x3=4x _{1} + x _{3} = 4 g(t)=x1+x2+x3=x2+4<4g \left( t \right) = x _{1} + x _{2} + x _{3} = x _{2} + 4 < 4이고 g(t)g \left( t \right)의 값은 일정하지 않다. ② t=−10−mt = - 10 - m일 때, 방정식 5log⁡2(4−x)+m=t5 \log \mathit{_{2}} \left( 4 - x \right) + m = t의 실근을 x1x _{1}, 방정식 −5log⁡2(4−x)−m=t- 5 \log \mathit{_{2}} \left( 4 - x \right) - m = t의 실근을 x2x _{2}, 방정식 5log⁡2x+m=t5 \log \mathit{_{2}} x + m = t의 실근을 x3x _{3}이라 하자.

5log⁡2(4−x1)+m=5log⁡2x3+m5 \log \mathit{_{2}} \left( 4 - x _{1} \right) + m = 5 \log \mathit{_{2}} x _{3} + m log⁡2(4−x1)=log⁡2x3\log \mathit{_{2}} \left( 4 - x _{1} \right) = \log \mathit{_{2}} x _{3}, 4−x1=x34 - x _{1} = x _{3} x1+x3=4x _{1} + x _{3} = 4, x2=0x _{2} = 0이므로 g(t)=x1+x2+x3=4g \left( t \right) = x _{1} + x _{2} + x _{3} = 4 ③ t>−10−mt > - 10 - m일 때, 방정식 5log⁡2(4−x)+m=t5 \log \mathit{_{2}} \left( 4 - x \right) + m = t의 실근을 x1x _{1}, 방정식 5log⁡2x+m=t5 \log \mathit{_{2}} x + m = t의 실근을 x2x _{2}라 하자.

5log⁡2(4−x1)+m=5log⁡2x2+m5 \log \mathit{_{2}} \left( 4 - x _{1} \right) + m = 5 \log \mathit{_{2}} x _{2} + m log⁡2(4−x1)=log⁡2x2\log \mathit{_{2}} \left( 4 - x _{1} \right) = \log \mathit{_{2}} x _{2} 4−x1=x24 - x _{1} = x _{2}, x1+x2=4x _{1} + x _{2} = 4 g(t)=x1+x2=4g \left( t \right) = x _{1} + x _{2} = 4 ①, ②, ③에 의하여 t≥−10−mt \geq - 10 - m인 모든 실수 tt에 대하여 g(t)=4g \left( t \right) = 4 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 t≥at \geq a인 모든 실수 tt에 대하여 g(t)=g(a)g \left( t \right) = g \left( a \right)가 되도록 하는 aa의 최솟값은 −10−m- 10 - m이다. −10−m=2- 10 - m = 2, m=−12m = - 12 따라서 f(m)f \left( m \right)=f(−12)= f \left( - 12 \right) =∣5log⁡2(4+12)−12∣= \left| 5 \log \mathit{_{2}} \left( 4 + 12 \right) - 12 \right| =8= 8

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