로그함수 삼각형 넓이

[출제의도] 로그함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표를 각각 $\mathrm{A} \left( \mathit{a} , \log _{2} 2 a \right)$, $\mathrm{B} \left( \mathit{b} , \log _{2} 4 b \right)$$\left( a < b \right)$라 하자. 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기가 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{\log _{2} 4 b - \log _{2} 2 a}{b - a} = \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle \log _{2} 4 b - \log _{2} 2 a = \frac{1}{2} \left( b - a \right)$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( b - a \right) ^{2} + \left( \log _{2} 4 b - \log _{2} 2 a \right) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( b - a \right) ^{2} + \frac{1}{4} \left( b - a \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{5}}{2} \times \left( b - a \right)$$\displaystyle = 2 \sqrt{5}$ $b - a = 4$ $\cdots$ ㉠ $\displaystyle \log _{2} 4 b - \log _{2} 2 a = \log _{2} \frac{2 b}{a} = 2$, $b = 2 a$ $\cdots$ ㉡ 두 식 ㉠, ㉡을 연립하면 $a = 4$, $b = 8$ $\mathrm{A} \left( 4 , 3 \right)$, $\mathrm{B} \left( 8 , 5 \right)$, $\mathrm{C} \left( 4 , 0 \right)$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ACB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$