미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그함수 극한과 기울기

문제

곡선 $y = \ln ( 1 + 10 x )$ 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 와 원점 $\mathrm{O}$ 를 이은 선분이 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 한다. 점 $\mathrm{P}$ 가 원점 $\mathrm{O}$ 에 한없이 가까워질 때 $\tan \theta$ 의 극한값은? [3점]

① $1$ ② $5$ ③ $10$ ④ $e$ ⑤ $\ln 10$

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③

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해설

점 P의 좌표를 P $( x , \ln ( 1 + 10 x ) )$ 라 하면 $\displaystyle \tan \theta = \frac{\ln ( 1 + 10 x )}{x}$ 이때, $\mathrm{P} \rightarrow O$ 이면 $x \rightarrow 0$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{\mathrm{P} \rightarrow O} \tan \theta = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\ln ( 1 + 10 x )}{x}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{\ln ( 1 + 10 x )}{10 x} \times 10} = 10$

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