로그함수 극한 조건

[출제의도] 로그함수의 미분법을 이해하여 미지수의 값을 구한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{f \left( x \right)}{x}} = 2$에서 $x \rightarrow 0$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {f ( x )} = 0$이고, 함수 $f \left( x \right)$는 연속함수이므로 $\displaystyle f ( 0 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {f ( x )} = 0$ $f ( 0 ) = \ln b = 0$에서 $b = 1$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{f \left( x \right)}{x}} = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right)}{x - 0}} = f' \left( 0 \right)$ 함수 $f ( x ) = \ln \left( ax + 1 \right)$에서 $\displaystyle f' ( x ) = \frac{a}{ax + 1}$ $f' ( 0 ) = a$이므로 $a = 2$ 따라서 $f \left( x \right) = \ln \left( 2 x + 1 \right)$이므로 $f ( 2 ) = \ln 5$