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ㄱ. $\displaystyle f' \left( x \right) = \frac{4 x}{2 x ^{2} + 1}$이므로 $f' ( - x ) = - f' ( x )$ (참) ㄴ. $\displaystyle f'' \left( x \right) = \frac{4 \left( 2 x ^{2} + 1 \right) - 4 x \cdot 4 x}{\left( 2 x ^{2} + 1 \right) ^{2}} = \frac{4 \left( 1 - 2 x ^{2} \right)}{\left( 2 x ^{2} + 1 \right) ^{2}}$ $f'' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle x = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {f' \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {f' \left( x \right)} = 0$이므로 $y = f' \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

따라서 함수 $f' \left( x \right)$의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt{2}$이다. (참) ㄷ. ⅰ) $x _{1} = x _{2}$일 때, 주어진 부등식은 성립한다. ⅱ) $x _{1} \ne x _{2}$일 때, 닫힌 구간 $\left[ x _{1} , x _{2} \right]$에서 평균값의 정리에 의하여 $\displaystyle \frac{f \left( x _{1} \right) - f \left( x _{2} \right)}{x _{1} - x _{2}} = f' \left( c \right)$인 $c$가 열린 구간 $\left( x _{1} , x _{2} \right)$에서 적어도 하나 존재한다. ㄱ, ㄴ에 의하여 $\displaystyle - \sqrt{2} \leq f' \left( x \right) \leq \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \left| \frac{f \left( x _{1} \right) - f \left( x _{2} \right)}{x _{1} - x _{2}} \right| = \left| f' \left( c \right) \right| \leq \sqrt{2}$이다. $\therefore$ ⅰ), ⅱ)에 의하여 임의의 두 실수 $x _{1} , x _{2}$에 대하여 $\displaystyle \left| f \left( x _{1} \right) - f \left( x _{2} \right) \right| \leq \sqrt{2} \left| x _{1} - x _{2} \right|$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ