로그곡선과 삼각형 넓이

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 문제를 해결한다. 두 곡선 $\displaystyle y = \log _{\sqrt{2}} \left( x - a \right)$와 $\displaystyle y = \left( \sqrt{2} \right) ^{x} + a$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이고, 직선 $\mathrm{AB}$는 직선 $y = x$에 수직이므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\mathrm{A} \left( \mathit{2} t , t \right)$($t > 0$)이라 하면 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\mathrm{B} \left( \mathit{t} , 2 t \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \sqrt{2} t$이다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{M} \left( \frac{\mathit{3}}{2} t , \frac{3}{2} t \right)$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \overline{\mathrm{OB}}$인 이등변삼각형이므로 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $6$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{OM}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} t \times \frac{3 \sqrt{2}}{2} t$$\displaystyle = \frac{3}{2} t ^{2}$ 이므로 $t = 2$ 즉 $\mathrm{A} \left( 4 , 2 \right)$가 곡선 $\displaystyle y = \log _{\sqrt{2}} \left( x - a \right)$ 위의 점이므로 $\displaystyle 2 = \log _{\sqrt{2}} \left( 4 - a \right)$, $\displaystyle \left( \sqrt{2} \right) ^{2} = 4 - a$ 따라서 구하는 상수 $a$의 값은 $2$이다.