미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그곡선과 사각형 극한

문제

a>0a > 0, a≠1a \ne 1인 실수 aa와 자연수 nn에 대하여 직선 y=ny = n이 yy축과 만나는 점을 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}, 직선 y=ny = n이 곡선 y=log⁡a(x−1)y = \log _{a} ( x - 1 )과 만나는 점을 Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}}이라 하자. 사각형 AnBnBn+1An+1\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{A} _{\mathit{n} + 1}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞BnBn+1‾Sn=32a+2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{{\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}}}}{S _{n}}} = \frac{3}{2 a + 2} 을 만족시키는 모든 aa의 값의 합은? [4점] ①22②94\displaystyle \frac{9}{4}③52\displaystyle \frac{5}{2}④114\displaystyle \frac{11}{4}⑤33

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②

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해설

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 수열의 극한에 대한 문제를 해결한다. 점 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}의 좌표는 (0,n)\left( 0 , n \right)이다. log⁡a(x−1)=n\log _{a} \left( x - 1 \right) = n에서 x=an+1x = a ^{n} + 1이므로 점 Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}}의 좌표는 (an+1,n)\left( a ^{n} + 1 , n \right)이다. BnBn+1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}}}={(an+1+1)−(an+1)}2+1\displaystyle = \sqrt{\left\{ \left( a ^{n + 1} + 1 \right) - \left( a ^{n} + 1 \right) \right\} ^{2} + 1}=(a−1)2a2n+1\displaystyle = \sqrt{\left( a - 1 \right) ^{2} a ^{2 n} + 1} 사각형 AnBnBn+1An+1\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{A} _{\mathit{n} + 1}은 사다리꼴이므로 SnS _{n}=12×1×{(an+1)+(an+1+1)}\displaystyle = \frac{1}{2} \times 1 \times \left\{ \left( a ^{n} + 1 \right) + \left( a ^{n + 1} + 1 \right) \right\}=(a+1)an+22\displaystyle = \frac{\left( a + 1 \right) a ^{n} + 2}{2} lim⁡n→∞BnBn+1‾Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{{\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}}}}{S _{n}}}=lim⁡n→∞2(a−1)2a2n+1(a+1)an+2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 \sqrt{\left( a - 1 \right) ^{2} a ^{2 n} + 1}}{\left( a + 1 \right) a ^{n} + 2}} (ⅰ) 0<a<10 < a < 1일 때 lim⁡n→∞an=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a ^{n}} = 0이므로 lim⁡n→∞BnBn+1‾Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{{\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}}}}{S _{n}}}=2×12\displaystyle = \frac{2 \times 1}{2}=1= 1 32a+2=1\displaystyle \frac{3}{2 a + 2} = 1에서 a=12\displaystyle a = \frac{1}{2} (ⅱ) a>1a > 1일 때 lim⁡n→∞1an=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{a ^{n}}} = 0이므로 lim⁡n→∞BnBn+1‾Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{{\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}}}}{S _{n}}}=lim⁡n→∞2(a−1)2+1a2n(a+1)+2an\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 \sqrt{\left( a - 1 \right) ^{2} + \frac{1}{a ^{2 n}}}}{\left( a + 1 \right) + \frac{2}{a ^{n}}}}=2∣a−1∣a+1\displaystyle = \frac{2 \left| a - 1 \right|}{a + 1} 2(a−1)a+1=32a+2\displaystyle \frac{2 \left( a - 1 \right)}{a + 1} = \frac{3}{2 a + 2}에서 a=74\displaystyle a = \frac{7}{4} (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 aa의 값의 합은 12+74\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{7}{4}=94\displaystyle = \frac{9}{4}

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#수열의 극한#로그함수

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