로그곡선과 직선

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 삼각형의 넓이에 대한 문제를 해결한다.

두 점 $\mathrm{A} \mathit{(} a , \log _{2} a )$, $\mathrm{B} \mathit{(} b , \log _{2} b )$가 기울기가 $1$인 직선 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{\log _{2} b - \log _{2} a}{b - a} = 1$이다. 즉, $\log _{2} b - \log _{2} a = b - a$ … ㉠ 직선 $l$과 두 직선 $x = b$, $y = \log _{2} a$로 둘러싸인 부분은 밑변의 길이가 $b - a$이고, 높이는 $\log _{2} b - \log _{2} a$인 직각삼각형이다. $\displaystyle \frac{1}{2} ( b - a ) ( \log _{2} b - \log _{2} a ) = 2$ … ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 $\displaystyle \frac{1}{2} ( b - a ) \times ( b - a ) = 2$ $( b - a ) ^{2} = 4$, 즉, $b - a = 2$ (∵ $a < b$) … ㉢ 또, $\log _{2} b - \log _{2} a = 2$에서 $\displaystyle \log _{2} \frac{b}{a} = 2$이므로 $b = 4 a$ … ㉣ ㉢, ㉣에서 $\displaystyle a = \frac{2}{3}$, $\displaystyle b = \frac{8}{3}$ ∴ $\displaystyle a + b = \frac{10}{3}$