미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그곡선 삼각형 넓이 극한

문제

자연수 nn에 대하여 두 함수 y=log⁡4x,y=log⁡2xy = \log _{4} x , y = \log _{2} x의 그래프와 직선 y=ny = n의 교점을 각각 An,Bn\mathrm{A} _{\mathit{n}} , B _{\mathit{n}}이라 하자. 삼각형 OAnBn\mathrm{OA} \mathit{_{\mathit{n}}} \mathrm{B} \mathit{_{\mathit{n}}}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn+1Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{S _{n + 1}}{S _{n}}의 값은? [4점]

①22②33③44④66⑤88

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③

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해설

log⁡4x=n\log _{4} x = n에서 An(4n,n){\mathrm{A}} _{n} ( 4 ^{n} , n ), log⁡2x=n\log _{2} x = n에서 Bn(2n,n){\mathrm{B}} _{n} ( 2 ^{n} , n ) lim⁡n→∞Sn+1Sn=\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{S _{n+1}}{S _{n}} =lim⁡n→∞12(n+1)(4n+1−2n+1)12n(4n−2n)=4\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{2} ( n + 1 ) ( 4 ^{n+1} - 2 ^{n+1} )}{\frac{1}{2} n ( 4 ^{n} - 2 ^{n} )} = 4

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#수열의 극한#로그함수

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