로그곡선 직각삼각형

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 문제를 해결한다.

$x < 0$일 때의 교점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 방정식 $\log _{3} \left( - 2 x \right) = \log _{3} \left( x + 3 \right)$의 근이므로 $- 2 x = x + 3$, $3 x = \mathit{-} 3$, $x = \mathit{-} 1$ 따라서 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\mathrm{A} \left( - 1 , \log _{3} 2 \right)$ $x > 0$일 때의 교점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 방정식 $\log _{3} 2 x = \log _{3} \left( x + 3 \right)$의 근이므로 $2 x = x + 3$, $x = 3$ 따라서 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\mathrm{B} \left( 3 , \log _{3} 6 \right)$이다. 두 점 $\mathrm{A} \left( - 1 , \log _{3} 2 \right)$, $\mathrm{B} \left( 3 , \log _{3} 6 \right)$에 대하여 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{\log _{3} 6 - \log _{3} 2}{3 - \left( - 1 \right)} = \frac{\log _{3} \frac{6}{2}}{4} = \frac{1}{4}$이므로 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $\mathrm{AB}$와 수직인 직선의 방정식은 $y - \log _{3} 2 = \mathit{-} 4 \left( x + 1 \right)$ $y = \mathit{-} 4 x - 4 + \log _{3} 2$ $\cdots \cdots$ ㉠ 직선 ㉠이 $y$축과 만나는 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\mathrm{C} \left( \mathit{0} , - 4 + \log _{3} 2 \right)$이다. 이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$$\displaystyle = \sqrt{4 ^{2} + \left( \log _{3} 6 - \log _{3} 2 \right) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{17}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$$\displaystyle = \sqrt{( - 1 ) ^{2} + 4 ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{17}$ 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S$라 하면 $S$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sqrt{17} \times \sqrt{17}$$\displaystyle = \frac{17}{2}$