로그부등식의 정수해

[출제의도] 로그부등식의 해를 구할 수 있는가? 진수조건에서 $x - 1 > 0$, $\displaystyle \frac{1}{2} x + k > 0$ 이므로 $x > 1$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ ㉠ $\displaystyle \log _{5} \left( x - 1 \right) \leq \log _{5} \left( \frac{1}{2} x + k \right)$에서 $\displaystyle x - 1 \leq \frac{1}{2} x + k$, $\displaystyle \frac{1}{2} x \leq k + 1$ $\therefore x \leq 2 \left( k + 1 \right)$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $1 < x \leq 2 \left( k + 1 \right)$이고 모든 정수 $x$의 개수가 $3$이므로 $2 \left( k + 1 \right) - 1 = 2 k + 1 = 3$ $\therefore k = 1$