로그부등식 지수방정식

집합 $A$의 식을 정리하면 $x - 1 > 0 , x + 5 > 0$이 성립하므로 $x > 1$ ($\because$진수조건) $\log _{4} ( x - 1 ) \leq \log _{16} ( x + 5 )$ $\displaystyle \rightarrow \log _{4} ( x - 1 ) \leq \frac{1}{2} \log _{4} ( x + 5 )$ $\rightarrow \log _{4} ( x - 1 ) ^{2} \leq \log _{4} ( x + 5 )$ $\rightarrow ( x - 1 ) ^{2} \leq ( x + 5 )$ $\rightarrow x ^{2} - 2 x + 1 \leq x + 5$ $\rightarrow x ^{2} - 3 x - 4 \leq 0$ $\rightarrow - 1 \leq x \leq 4$ 그런데, 진수조건에 의해 $x > 1$이어야 하므로 $1 < x \leq 4$ 집합 $B$식을 정리하기 위해 $2 ^{x} = t > 0$라 치환하면 주어진식 : $t ^{3} - 11 t ^{2} + 38 t - 40 = 0$ $f ( t ) = t ^{3} - 11 t ^{2} + 38 t - 40$이라 두면 $f ( 2 ) = 2 ^{3} - 11 \cdot 2 ^{2} + 38 \cdot 2 - 40 = 0$ 이므로 주어진 방정식은 $t = 2$를 근으로 갖는다. 주어진 식을 인수분해하면 $( t - 2 ) ( t ^{2} - 9 t + 20 ) = 0 \rightarrow ( t - 2 ) ( t - 4 ) ( t - 5 ) = 0$ 인수정리를 이용해 근을 구하면 $t = 2 or 4 or 5$이므로 $x = \log _{2} 2 or \log _{2} 4 or \log _{2} 5$ 그런데 $\log _{2} 2 = 1$이므로 집합 $A$의 근이 되지 않는다. $A \cap B = \left\{ \log _{2} 4 , \log _{2} 5 \right\}$이므로 모든 원소의합$= \log _{2} 4 + \log _{2} 5 = \log _{2} 20$