로그부등식

$x ^{2} - x$, $x$는 로그의 진수이므로 $x ^{2} - x > 0$, $x > 0$에서 $x > 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ 부등식 $\displaystyle \log _{2} \left( x ^{2} - x \right) < 1 - \log _{\frac{1}{2}} x$에서 $\log _{2} \left( x ^{2} - x \right) < \log _{2} 2 + \log _{2} x$ $\log _{2} \left( x ^{2} - x \right) < \log _{2} 2 x$ 밑 $2$가 $1$보다 크므로 $x ^{2} - x < 2 x$, $x \left( x - 3 \right) < 0$에서 $0 < x < 3$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 구하는 모든 $x$의 값의 범위는 $1 < x < 3$ 따라서 $\alpha + \beta = 1 + 3 = 4$