로그 유리수와 등비수열

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 미지수 구하는 문제 해결하기 조건 (나)에서 $n ^{2} = 16 ^{2} m$, $\displaystyle m = \left( \frac{n}{16} \right) ^{2}$이고 $m$은 자연수이므로 $n$은 $16$의 배수이어야 한다. 그리고 $10$보다 크고 $100$보다 작은 $16$의 배수는 $16 , 32 , 48 , 64 , 80 , 96$이므로 $n$은 이들 값 중에서 선택할 수 있다. 조건 (가)로부터 $\displaystyle \log _{m} n = \frac{q}{p}$ (단, $p , q$는 서로소인 자연수) 라 둘 수 있고, 로그의 정의로부터 $\displaystyle n = m ^{\frac{q}{p}}$로 나타낼 수 있다. 식을 변형하면 $n ^{p} = m ^{q}$이고 $m$, $n$은 자연수이므로 $m = c ^{p}$, $n = c ^{q}$(단, $c$는 자연수)로 둘 수 있다. $n$은 $16 , 32 , 48 , 64 , 80 , 96$ 값들 중 $c ^{q}$꼴로 표현할 수 있는 값이므로 $16 , 32 , 64$ 세 수뿐이다. 그러므로 $n = 16 , 32 , 64$이고 각각에 대하여 $\displaystyle m = \left( \frac{n}{16} \right) ^{2}$에서 $m$을 구하면 $m = 1 , 4 , 16$ 이다. 조건에서 $m$, $n$이 $10$보다 크고 $100$보다 작은 자연수이므로 $n = 64$, $m = 16$이다. 따라서 $m + n = 80$이다.