로그 연립방정식 행렬

$\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \log x \\ \log y \end{matrix} \end{array} \right) = k \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \log x \\ \log y \end{matrix} \end{array} \right)$ ⇔ $\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 - k & 2 \\ 4 & 3 - k \end{pmatrix}} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \log x \\ \log y \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right)$ $\cdots$ ㉠ 이므로 ㉠이 $x = 1 ,$ $y = 1$ 이외의 해를 가질 필요충분조건은 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 - k & 2 \\ 4 & 3 - k \end{pmatrix}}$의 역행렬이 존재하지 않는 것이다. 따라서 $\left( 1 - k \right) \left( 3 - k \right) - 2 \cdot 4 = 0$에서 $k ^{2} - 4 k - 5 = 0$ $( k - 5 ) ( k + 1 ) = 0$, $k = 5$ 또는 $k = - 1$ 따라서 구하는 모든 실수 $k$의 값의 합은 $4$이다.