로그 연립방정식

$\displaystyle \frac{2}{\log _{x} 4} + \frac{1}{\log _{y} 2} = 3$ -----① $\displaystyle \log _{2} 3 x + \log _{\sqrt{2}} y = \log _{2} 48$ ----- ② ① $\leftrightarrow$ $\log _{2} x + \log _{2} y = 3$ -----$\text{ ①}'$ ② $\leftrightarrow$ $\displaystyle \log _{2} x + 2 \log _{2} y = \log _{2} {\frac{48}{3}} = 4$ -----$\text{ ②}'$ $\text{ ①}' , \text{ ②}'$의 연립 방정식을 풀면 $\log _{2} x = 2$ $\leftrightarrow$ $x = 2 ^{2} = 4$ $\log _{2} y = 1$ $\leftrightarrow$ $y = 2$ $\therefore$ $\alpha = 4 , \beta = 2$ 이므로 $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 20$